2.1.3 简布的普遍条分法
1.普遍条分法的基本假定和计算公式
图2.7所示：是土坡断面最一般的情况，土坡面是任意的，上面作用着各种荷载，剪切面（滑裂面）也是任意的。推力线是指土条两侧作用力（条间力）合力作用点位置的连线。在整个土坡的两侧作用着侧向的推力Ea、Eb和剪力Ta、Tb。
如果在土坡断面中任取一土条，如图2.8所示，其上作用着集中荷载ΔP、ΔQ及匀布荷载q，ΔWγ为土条自重，在土条两侧作用有条间力T、E及T+ΔT、E+ΔE，ΔS及ΔN则为滑裂面上的作用力。一般来说，T、E、ΔS及ΔN为基本未知量。
为了求出一般情况下土坡稳定的安全系数以及滑裂面上的应力分布，可以采用简布的普遍条分法（GPS法）在平面应变问题的条件下，简布做了如下假定。
图2.7 简布法计算图式
（1）整个滑裂面上的稳定安全系数是一样的，其定义表达式为式（2.18），
（2）土条上所有垂直荷载的合力ΔW=ΔWγ+qΔx+ΔP，其作用线和滑裂面的交点交点与ΔN的作用点为同一点。
图2.8 土条上的作用力
（3）推力线的位置假定已知。根据土压力计算理论，可以简单地假定土条侧面推力成直线分布，如果坡面没有超载，对于非黏性土（c′＝0），推力线应选在（或靠近）土条下三分点处；对于黏性土（c′＞0）则在这点以上（被动情况）或这点以下（主动情况）。如果坡面有超载，侧向推力成梯形分布，推力线应通过梯形的形心。
简布假定ΔW和ΔN的作用点是同一点，这是不大合理的，但其影响在推导公式中属于二阶微量，可予忽略。至于推力线位置的变化，主要影响着土条侧向力的分布，对安全系数的影响很小。
对于每一土条，根据所假定的滑裂面，可以量得滑裂面坡度tanα及土条宽ΔX。单位土条宽度上作用的总垂直荷载为
式中γ为土的容重。水平荷载为ΔQ，其作用点位置力滑裂面的距离为ZQ。当推力线位置确定以后，尚可量得推力线与滑裂面的垂直距离ht及推力线的坡度tanαt。
根据力及力矩平衡条件，对每一土条，可列出下列四个基本方程，即
式（2.19）是滑裂面上的平衡条件，u为滑裂面上的孔隙应力；式（2.20）是力的垂直平衡方程，式中t=ΔT/Δx；式（2.21）是力的水平平衡方程，其中σ是用式（2.20）代入消去的；式（2.22）则是根据力矩平衡条件得出的，式中Δx的高次项已略去。对于整个滑动土体，整体的水平作用力平衡要求；
∑ΔE=Eb-Ea
将式（2.21）代入上式，得
根据假定，
代入上式，得
而
因为式子两边均包含有Fs项，须用迭代法试算。
由式（2.25）得
为了使公式简化，引入
将式（2.26）代入式式（2.27）并令
由式（2.30）已制成
的关系曲线以备查用。
简化以后成为
滑裂面上的剪应力τ可由是式（2.27）求出，即
图2.9 ηa曲线图
正应力σ则直接由基本方程式式（2.20）求得。
必须指出，在上列各式中，T及t=ΔT/Δx 是未知的。谦为了求解T及t得
每一土条侧向水平作用力可由A点开始（见图2.9），从上往下逐条推求，即
E=Ea+∑ΔE （2.35）
求出E以后，T即可由基本方程式（2.22）求得，当土条两侧的T均已知时，该土条的ΔT及t就很容易求出来了。但因为求M、N的式（2.27）及式（2.28）中均含有t项，所以t并不能直接解出，也必须用迭代法来解决。
用普遍条分法不仅可以求出沿滑裂面的平均安全系数FS及滑裂面上应力σ及τ的分布，还可以求出各土条分界面上抵抗剪切的安全系数Fu，作为校核之用。
因为各土条分界面上的作用力E及T已经求出，如果分界面的长度为z，则分界面上平均的水平向应力为
垂直向（切向）应力为
σh可假定沿界面呈直线分布，若E的作用点位于下三分点，则分布图形为三角形，否则为梯形。若分界面上的总孔隙水应力为Uh（方向水平），平均孔隙应力为
则
式中，c′及φ'要用分界面上的平均强度指标。一般来说，Fu≥FS。
2.普遍条分法的计算步骤
应用普遍条分法的具体计算步骤如下。
（1）假定滑裂面，划分土条，求出各土条的tanα、Δx、
ΔQ。
（2）假定t0=0，求出
（3）先假定ηα0=1，则M0=M
，而
（4）由
（5）再由MO、NO求出
可选用，否则重新假定
重新计算。
（6）当t0=0时，
（7）求出各土条分界面的Eo，从坡顶逐条往下椎，E0=Ea+∑ΔE0，直到最后满足条件Ea-Eb=+∑ΔE0。
（8）根据推力线位置求出tanαt、ht、zQ。
（9）由下式求
（10）求得各土条分界面上第一个近似的T值。
（11）求出每一土条的ΔT值。
ΔTi=Ti,i+1-Ti,i-1
（12）求出每一土条的t值。
（13）求出
N1=N0+ΔT tan α
这是M、N的第一次近似值。
（14）由Fso假定
求出各土条的ηα1。
（15）求得
若Fs1与
相比误差小于5%，可选用，否则重新假定
重新计算。
（16）重复步骤（6）～（15），从
开始，直到算出安全系数的第二次近
似值Fs2，将Fs2与Fs1比较，若符合精度要求，则迭代结束，取Fs=Fs2，否则继续迭代，一般仅需迭代3次。
（17）当Fs，确定以后，由式（2.20）、式（2.22）求出各土条滑裂面上的应力σ及τ，此时已得如下成果：沿滑裂面的平均安全系数Fs、所有土条分界面上的作用力E及T、每一土条底面的平均应力σ及τ。
（18）校核每一土条分界面上的抗剪安全系数Fu。
（19）绘制成果，计算结束。
因为普遍条分法通常用来校核一些形状比较特殊的滑裂面（如复杂的软土层面），所以不必要假定很多的剪切面进行计算。计算表格及算例可参阅赫兹费尔特及普鲁斯主编的《土石坝工程》一书中简布的有关文章。
3.王复来对简布法的改进
20世纪70年代末，王复来同志对简布的方法作了很有价值的改进，他从任一土条上各种作用力的极限静力平衡条件出发，导出了类似式（2.20）～式（2.23）这样一组基本方程式，由此可以求解ΔE、ΔT、ΔN、ΔS四个基本未知量。对第n条土条，如图（2.8），如果土条侧面的推力是由下往上逐条推算的，则土条左边的侧向力为Tn、En，右边的侧向力为Tn+1、En+1，ΔE及ΔT的正负号与普遍条分法相反。对基本方程式进行适当的换算、整理，可得到
当土条宽度取得足够小时，可以认为Δx、ΔE、ΔT均趋近于零，如果在推导公式的过过程中再略去二阶微量，可以近似地求出
式中，hn及hn+1分别为土条两侧推力作用点离开土条侧面底部的距离，与前式是不完全一样的。经过整理，还可以求出
安全系数FS的式和式（2.24）完全相同，如果土坡两端没有外力，即Ea、Eb、Tb均等于零，同时假定土条划分为m条，则有
解题时可用试算法或迭代法。
试算法利用式（2.39），先假定一个FS，根据E1=0的初始边界条件，由下往上逐条推求各土条的侧向推力En+1，直至第m条，如果求出的Em+1=0，则所假设的安全系数即为所求，否则要另行假定FS重复计算；也可假设三个以上的FS，求出FS与Em+1的关系曲线，由Em+1=0求出所要求的FS值。
迭代法步骤要比普遍条分法简单一些。首先假设FS0，据初始边界条件E1=0、T1=0从下往上逐条推求侧向推力直至m-1号土条，分别求出E2、E3、…、Em及T2、T3、…、Tm；再根据Tm+1=0的条件，算得各土条的ΔT1、ΔT2、…、ΔTm；点用所设的Fs0及ΔT1、…、ΔTm代入式（2.40）算得安全系数的第一次近似值Fs1；核算Fs1与Fs0的相对误差是否满足精度要求，如不满足则以Fs1作为Fs0。重复上述步骤，直至相邻两次迭代计算得到的Fs值其相对误差满足要求为止。王复来法的基本出发点和普遍条分法是一样的，其计算精度也差不多，但使用起来却比普遍条分法方便。