8 简单归纳规则
主观解释无法成功地分析或说明传统的机会对策理论。它不能分析似偶然［chance-like］序列或独立序列，也不能说明这个理论的可应用性。主观理论的种种断言必定会与伯努利及其后继者们的经典结论相冲突。因此主观主义者们的错误非常严重：在分析经典理论时，他们的纲领表明他们无法理解它。
我的这些批判都是非常正式的，但它还没有解决下述问题：谁是正确的？谁的理论是正确的，是客观主义者还是主观主义者？在这里“正确”的意思是说理论能应用于物理实在——例如机会对策。有人坚持认为，经典理论虽然非常成功，但也可能错误，而主观理论提供了更好的逼近。
我不赞同这个观点。相反，我相信主观诠释完全错误，它显然是一种错误的诠释。
但主观诠释在物理学家中依然有着极大的影响力，与其说它是一个清晰明确的、一致的理论，不如说它是一条不用花什么力气就能守住的后防线，人们一旦遇到真正的困难和问题就退缩到那里。这样一来，在物理学中，包括在统计力学和量子理论中，一种含糊其辞而不知所云的论调便开始弥漫开来。于是我们开始用知识的贫乏来“解释”客观物理事实。[1]
鉴于这样的情况，我觉得非常有必要去认真思考主观诠释究竟是从什么源头产生出来的。我能确定是下面这些观念。
当我们不能充分认识到确定性的时候，概率的观念就进入了我们的思想中：如果我们能知道硬币正面朝上还是反面朝上，那么我们也不需要谈论什么正面朝上的“概率”了。
然而无知也只是因素之一。比较抛掷硬币和投掷骰子我们就能发现，我们知道有六种可能性而非两种，这确实影响到概率。要是考虑到折弯的硬币或灌了铅的骰子，那么我们对概率的估测就会在很大程度上依赖于先前的知识。要计算一个灌了铅的骰子的概率很困难，但如果我们投掷过成百上千次的话，再估计这个值也许就会简单得多：所有人都承认，从这个如此长的序列中得出的相对频率将优于原先估计的概率值。
因此我们过去的经验，我们关于过去事件的知识，都显然地决定了在此情形中我们的概率估计；我们有无比充分的理由相信，在对概率作最佳估计时，过去的知识总是扮演着有力角色。特别是在灌了铅的骰子这种非对称的情形中，如果没有过去的经验，我们又能如何判定概率呢？如果没有过去的经验，我们又如何能知道这粒骰子没有灌过铅？
这些思想产生了下述简单归纳规则：如果在某一实验的大数量重复序列中我们发现结果a发生的频率是m/n，那么根据这个实验性证据，a的概率的最佳估计等于或近似等于m/n。
上面我有意将这个规则表述成不是非常确定的，因此也不是非常强的。在这个形式中它应用的范围仅仅是“大”数量重复；而且它也没有主张m/n就是最佳估计，它仅仅主张最佳估计将近似等于m/n。
因为在此形式中这个规则是弱的，所以如果我们能驳倒它的话，那么我们也就能摧毁其余一切更强的变体；而我相信我们确实能驳倒它。[2]
简单归纳规则是假的，我在上一节中已经说明过其中的理由了。一个简单例子就能表明它将产生极端荒谬的结果——连（客观理论意义上的）独立性条件也不能满足。另一方面，主观-归纳理论也无法将其“简单规则”与独立性的要求合并到一起。正是这个规则本身要求用过去的经验来说明未来的概率，这些结果绝不是不相关的：规则让它们成为最相关的有效信息，特别是在长序列的情形中更是如此。因此主观主义者无法要求独立性。
我们可以通过一个绝佳的例子——“红或蓝”游戏——来反驳简单归纳规则。
一个赌徒和他的庄家一起玩抛掷硬币游戏，以正面或反面朝上来判定输赢。庄家手中有本记录薄，如果赌徒赢一次，就记上“+1”以表示得了一块钱，如果输了就记下“-1”表示欠一块钱。在若干次抛掷后，如果赌徒欠庄家的钱，我们就说我们观察到了事件“红”，如果他不欠任何钱，我们就观察到了事件“蓝”。这场赌局中只会出现可观察事件“红”或“蓝”其一，因此我称之为“红或蓝”。
跟据客观理论显然可以得出如下结论：
（ⅰ）红的概率=蓝的概率=½，或非常接近于½。（这里存在着小小的不对称性，因为“红”表示“欠债”，而“蓝”表示“赢钱或不赢也不欠”。）因此从客观理论的角度我们有
这里a是红，ā是蓝，而b是赌局的条件（或实验组织条件）。
（ⅱ）a和ā的序列不是独立的。计算[3]表明这一点产生了大大超出意料之外的结果。如果我们安排一场大型实验，在一整年中每一秒抛掷一次硬币，那么我们将得到下述结果：这两个被观察到的频率——即a的频率和ā的频率——之间的差别超过⅙（即两个月）的概率大约是0.9。而这两个被观察到的频率之间的差别超过⅔（即八个月）的概率则大于0.5。因此更概然的情况是这两个被观察到的频率会相差大约⅙和⅚，而实际的概率却是½和½。
换言之在这场赌局中，客观来说极端非概然的是下述情况：根据简单归纳规则得出的估计值能够成立；而非常概然的则是下述情况：归纳估计值和½之间的偏差将大得惊人，哪怕我们考虑极大数量的观察结果——比一生中能观察到的结果还要多——情况也是如此。
因此在这个情形中，简单归纳规则虽然看上去似真，但实际上必将失败。原因就是“红或蓝”游戏的连续性结果不是独立的，而看上去简单归纳规则只有在客观独立的情形中才能得出和好的客观估计一致的结果，在此情形中我们可以应用伯努利方法。但是，这时它所作出的解释本质上属于客观理论。不可能将这些解释翻译成主观理论或归纳理论的语言，因为在翻译过程中客观独立性将变成主观不相关性。不仅仅是主观不相关性与简单归纳规则不相容，而且从主观角度而言，“红或蓝”中的观察的相关状态完全就等同于“正面或反面”中的相关状态。从客观理论角度来看，关于“红”或“蓝”的重复观察在任何意义上都不是重复实验：后效表明了其中的条件不是可再现的。（为了进行重复实验，我们必须在每次开始时重新进行确定长度的红或蓝游戏。）但主观理论无法这样来区分重复观察和重复实验之间的差别，因为这种根本差别的基础是独立性理论，而主观理论是无法建立这套理论的。
简单归纳规则在“红或蓝”游戏中的失败可以说是一位归纳赌徒和一位理性赌徒在行为上的对比。假定至今为止观察到了100，000次红和10次蓝，那么归纳赌徒将会以至少10，000∶1的赔率赌红，而无论最后一次出现的是什么。但理性赌徒（他不仅考虑被观察到的结果，也考虑其数学构造）将明白，根据游戏中固有的后效，以1∶1来赌蓝对自己最为有利——假定最后一次出现的是蓝。
“红或蓝”游戏当然只是关于简单归纳规则失败的一个特定的、令人印象深刻的例子而已，它可以用来认定客观概率具有合理的良好逼近。如果以这个目的来看，在普通抛掷硬币的游戏中它当然是很见效的，因为这个实验是独立的。但如果我们将抛掷硬币游戏当作一个赌博系统的话，这个例子却几乎不起任何作用。（归纳概率得出的值有时候会偏离½，因此在此类情形中，客观上看非常不利的赔率对赌徒而言也有可能是可接受的。）
总而言之，简单归纳规则表面上看好像正确，或者似乎是“不证自明的”，但实际上不过是对我们常见的客观独立例子的一种错误诠释而已。我们在这些例子中所找到的差别就蕴涵着客观独立性的观念，因此也就超越了主观-归纳理论。[4]