单称概率陈述
频率理论和新经典理论之间最重要的差别体现在关于单称概率陈述的诠释上。我在《逻辑》第73节中非常详细地讨论了关于单称概率陈述的频率诠释，它等同于断言：陈述“下一次硬币抛掷结果为正面朝上的概率是一半”和假说“此枚硬币的抛掷（有限或无穷）序列中正面朝上的相对频率是一半”，这两者的意义一样；也就是说，这个句子只是看上去是单称的，其实也应诠释为序列中的某一项。
与此相反，新经典理论将单称概率陈述诠释为这样的陈述，它赋予单一事件——更确切地说是某一单一事件和此事件可能发生或不发生的环境集——以概率。
如果某种概率理论是直接赋予单一事件或单称陈述以概率，而无需通过序列集的方式，那么我就将此理论称为“单一事件理论”。[38]
我们常能听到这样的观点：如果想得到“单一事件理论”，我们就必须能使此理论将概率诠释为理性信仰的程度，也即某种主观理论或逻辑理论；尤其是，如果我们希望一个基于概率或等概率的经典（拉普拉斯的）定义不至于太过狭窄的话，这就是必须的。[39]看来很多相信合理信仰程度的人都这么做，因为他们希望采用的是一个不基于等概率的“单一事件理论”。他们相信（但理由不是很能说服人），只有采用主观理论或逻辑理论，他们的上述希望才能得到实现。
但是，我认为没有任何理由表明经典理论和新经典理论——它们认为概率是一种估量（或测度）——就不可避免的要与等概率联系到一起。相反，等概率显然只是一种确立估量或测度的方法而已，在理论数学发展的实际过程中，它起到的作用一直都很小。
我将在下一节中进一步批判概率的主观理论和逻辑理论。在此我只打算说明，没有任何理由要相信，如果抛弃了等概率方法，我们就只能要么局限于频率理论这一方，要么局限于主观理论和逻辑理论那一方。为了说明我的观点，我将首先讨论一个等概率情形，一粒完好的骰子，然后再用灌铅骰子来改变此情形。
在完美骰子的情形中，对于下一次投掷的六种可能结果，我们将赋予其相等的概率。这里涉及到的是下一次投掷——一个单一事件。问题恰恰在于，我们如何谈论这个单一事件（除了断言说它潜在地属于具有某一频率分布的序列）。
我认为我们可以这样来分析这个单一事件——下一次投掷——的断言内容。
（1）我们事先决定，我们仅仅考虑投掷后六个面中朝上的那个面。（因此我们将忽略哪个面朝西等等这样的问题。）换言之，我们进一步限定了我们要考察的“可能结果”。
（2）此事件发生（或此实验进行）的客观条件使我们无法预测其结果。（这一点并不算关键，因为我们可以将完全可预测性诠释为概率等于1的断言。）
（3）我们猜想，对于每个可能的结果及其逻辑组合（尤指它们的析取或逻辑和），都可以给出一个满足概率计算公理、特别是加法定理的数字，因此这数字能被诠释为某一加性测度［additive measure］。于是数字1对应的是我们考虑的所有可能结果的析取（求并集），而数字0对应的是两个互斥结果的合取（结合，求交集）。
（4）这些数字是为了测度种种可能性，而这些可能性向着事件或实验的条件开放：如果这些条件在客观上对于这些结果是对称的，那么我们可以通过假定这些数字是相等的，从而得到它们。
（5）我想着重强调，在此分析中我们在赋予概率时假定了下述前提：条件具有客观对称性。而对于特别的骰子而言这个假定是错误的（实际上所有骰子都会有轻微的不对称性），这样一来，我们给出的相等数字——即等概率——就是错误的。但我们假定：
（6）所有与对称性或同质性的轻微偏离都对应于与等概率的轻微偏离。
上述分析针对的是（几乎）同质骰子的情形。它将某个数字（可能性或概率的测度）赋予事件的客观环境，而不是赋予我们的知识能确保的信仰（客观合理）程度。
为了表明此中差别，假定有一粒骰子，而我们的问题是去决定投掷结果的概率分布。根据我的分析，正确答案是这样的：“我不知道。我能说的仅仅是，如果这粒骰子是近似同质的，那么概率就应当大致相等。”
现在让我们考虑一粒灌了铅的骰子，机器检测发现，灌铅部分偏离中心，偏向标着“1”那一面的反面。
（1）我们可以说，如果灌铅部分位于中心，那么等概率就近似地保持；如果稍有偏离，那么等概率也将相应地稍有偏离（可能可以忽略不计）；而我们关于物理机制的知识告诉我们，上述偏离意味着出现“1”这一面结果朝上的概率（可能性）将会增加。
（2）如果有人问我们“你如何确定这个微小的偏差？”我认为正确的回答是这样：“我不知道。”我不认为我们能从已知的离心率计算出它与等概率的偏差（这也是韦尔的观点[40]）；因为概率分布不仅是灌铅骰子本身的特征或特性，也是所有相关条件的特征或特性。例如，它有可能部分取决于骰子坠落的表面——这个表面是钢的、橡胶的、天鹅绒的平垫子、覆盖着沙或泥土，等等。（对照上文第21节。）
（3）但是，虽然我们无法在计算灌铅骰子的概率分布时应用对称性理论，但我们总还知道一些别的信息。例如，我们知道灌铅的位置无论偏离中心的程度“小”或“大”，它都能增加“1”的概率；这又蕴涵着如下事实：存在某一附属于此单一事件特定条件的概率分布，虽然我们并不知道它。
（4）有人断言说，这样一来，岂不是那些我们不知道的和我们常常无法计算出来的数值刻划了物理事件的性质？但这个诘问并不构成对我观点的反驳。在数学和物理学中，我们经常都会去讨论一些其数值还无法（或无法精确地）指定的函数，并得到具有重要意义的结果。
（5）概率值的精确判定都带有不确定性，在我看来这恰恰标志着概率的客观性。让我们再来考虑灌了铅的骰子。我们有可能很精确地知道它的离心率和其他相关条件。但我们的这些知识可能还不足以在我们想要的精确度层次上判定概率，哪怕它能使我们作出“这个分布是不相等的”此类断言。确实存在着一个客观概率，但我们不知道它，或者说迄今为止仍然不知道它。虽然我们可能没有时间作出一个足够长的序列来满足精确判定的要求，但我们有可能知道如何测度它。
根据主观理论，我们的知识状态确切地判定了任何时刻的概率。虽然在实际中依据我们的知识状态来计算概率会有很大困难，但对于所有的知识状态，这是一个确切的数值，因为它是我们知识状态或知识缺乏的测度。根据这个观点，用重复实验的方式——即用不断探索进一步知识的方式——来谈论这个概率的测度毫无意义，因为进一步的知识一般而言都会改变概率。（参见前一章。）
而在我看来，实验的重复不会改变概率；因此我们应当进行这些实验，以改进我们对客观概率估计的精确性。