概率逻辑对归纳逻辑
前面我已批判了简单归纳规则并证明它无效，现在我打算批判问题的另一面，即概率逻辑。
人们通常认为概率逻辑是演绎逻辑的一种推广，像所有逻辑的公式一样，它的公式也都是逻辑上真的、分析的或重言的。
权且记住这种说法，让我们先看一些概率计算公式，正是这些公式使人们认为上述观点站得住脚。
这个公式可以诠释为“可以从a推出a”。
这个公式可以诠释为“可以从任何包含了a的合取推出a”。我们可以将之诠释为“在概率逻辑的意义上a和b是（绝对）独立的当且仅当信息b能保持a的绝对概率不变；或换言之，当且仅当对于a来说b是不相关的”。
（4） 如果p（ab）≠p（a）p（b）那么或者
（ⅰ）p（a，b）＞p（a），或者
（ⅱ）p（a，b）＜p（a）且p（ā，b）＞p（ā）
我们可以将之诠释为“如果在概率逻辑的意义上a和b不是逻辑独立的，那么或者（ⅰ）b有利于a或支持a，或者（ⅱ）b不利于a或因为支持非a而推翻a”。
这表明我们可以将概率-逻辑独立性诠释为逻辑中立性：a和b是逻辑独立的当且仅当b既不支持a也不支持ā。
现在我们将给出一个定理，它极为明显地指出了这种逻辑的重言性质。[12]
（5） 令a是x和y的合取，即a=xy，其中p（y，x）≠1。（假定x和y的内容都≠0。）令p（xb）=p（x）p（b），那么x和b是（概率）独立的。令b=yz。那么我们有
p（a，b）=p（x，b）=p（x）＞p（a）.
这就是说，如果a是x和y的合取，而x（概率）独立于b，且可以从b提出y，那么p（a，b）即使等于x的绝对概率，但也仍将大于（假定p（y，x）≠1）a的绝对概率。[13]
根据（5），我们可以说明这个演绎逻辑扩展的重言性质：b支持a，只要a等价于合取xy，其中y不是重言式并且可从b中推出，假定x（它是a中不被b蕴涵的那一部分）独立于b，或不被b强行推翻——它不需要被b支持。如果b独立于x，并因此相对于x是中立的，那么在给定b的前提下a的概率将等于给定b的前提下x的概率；因此也将等于绝对概率p（x），此时p（x）＞p（a）。
换言之，如果b蕴涵a的部分内容并中立于（或并非强大的不利于）其余部分，那么b支持a。
但是，如果这个诠释正确——在我看来它确实如此——那么概率逻辑就不可能是归纳逻辑。因为归纳理论想从前提里得到比它实际蕴涵更多的内容，并为这种努力正名：为得出超过前提b的结论a，甚至丧失其确定性也在所不惜。但逻辑概率表明，如果a的内容超过了前提b，那么只有可从b中推出的那部分a是确定的，而其余部分的概然性或非概然性与b无关。我们可以通过b来增加a的概率，但这完全是因为a的这一部分在逻辑上蕴涵于b，而不是因为b能影响无法从b中推出的那部分a。［*因此在概率理论中并不存在扩充性的概率推理。有一些推理表面上看是扩充性的，但这是因为我们可以从b中演绎出a的那部分内容。］
正是这个事实使得概率逻辑具有重言性质。其他任何诠释——例如使b毋需在逻辑上蕴涵a的某一部分就能支持a——都将使得到的公式变为非分析的。
因此概率逻辑推广了推导性逻辑［derivational logic］，它不仅考虑了前提所蕴涵的那些结论，也考虑了前提仅仅部分蕴涵的那部分结论（以及一些进一步的概率）。但在考虑这些时，它并不能允许我们从已知的前提出发，保持确定性地推导出未知结论；实际上，超过前提的那些内容依然保持它原来的概然性或非概然性。
当然，归纳本质上是旨在扩展我们知识的努力：从已知推导出未知，在某种程度上增加未知的概率。而在这里我的观点是这样的：无论我们怎么看待归纳，它都不可能等同于概率逻辑。