Ⅱ

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令h1，h2，…，hn是相互竞争且两两不相容的假说序列。令e是相关证据（成功的预测），且可从这n个假说中的任何一个推导而出，这样的话我们就有p（hi，e）=p（hi）以及0≠p（e）≠1。我们可以立刻根据概率计算的一般乘法定理（参见《逻辑》第324页（1））得到以下如同上文第Ⅰ子节中的式子

这就是说，有利证据e增加了概率。

但我们也可以得到下述平凡而基本的定理（2）

定理（2）是令人震惊的。它表明虽然根据（1）有利证据e能够增加概率，但与我们最初的印象相反，这个有利证据e仍然没有改变任何原先的事实。它支持hi的程度不可能比支持hj的程度更高。相反，在给出证据的情况下假说原先具有的次序仍然不变。任何有利证据都无法动摇这个次序。证据不能影响它。

为何说这是令人震惊的呢？因为h1有可能是e的一个典型的“归纳推广”，而h2作出的断言除了e所包含的内容之外，却有可能完全不被e支持，这样一来h2就不可能是e的某个推广；反之亦然。

兹举例论述如下。

e包含了几百万例关于天鹅的观察，其中它们都是白色的，而且从未观察过非白色的天鹅。

h1是“所有天鹅都是白色的”。

h2是“希腊、意大利和法国的天鹅都是白色的；英国和斯堪的纳维亚地区的天鹅都是红色的；中亚的天鹅都是绿色的；非洲的天鹅都是蓝色的；澳大利亚的天鹅都是黑色的”。

b是背景知识，内容是在希腊、意大利和法国之外都没有观察过任何天鹅。

如果将h1应用于整个宇宙之中（请记住我们曾猜想过在整个宇宙中电荷是一个常数），那么它在初始阶段将和h2同等概然甚至更不概然。（或者我们可以削弱h2使它更概然。）因此我们可以假定p（h1）≤p（h2）；而根据我们所规定的b，我们也可以假定p（h1，b）≤p（h2，b）。无论如何，根据一般乘法定理，因为从h1，b和h2，b我们都可以推出e，所以我们有

并因此有

p（h1，eb）＜p（h2，eb）当且仅当p（h1，b）＜p（h2，b）.

因此证据e对直接推广h1的支持程度，并不比对异想天开而武断的假说h2（在证据e看来是异想天开而武断的）的支持程度更高。

这表明，如果有人认为第Ⅰ子节中的论证（B）和本子节中的关系（1）是支持归纳或归纳推广的，那么他们的诠释就是错误的。这还表明，我们根本不可能将概率计算当作某种归纳理论。

当然，证据e可以改变它不支持的假说概率。更特别地，如果它和假说不相容，那么它可以推翻这个假说。但这并不是我们目前关注的内容。（虽然证据可以将它反驳的假说概率减至零，但我们显然不需要概率计算来描述这个情形。）