Ⅳ

[1]〈见《后记》第三卷：《量子论和物理学中的分裂》。编者注〉

[2]被反驳的变体包括无数种归纳理论（其中有卡尔纳普1952年的《归纳方法的连续统》［The Continuum of Inductive Methods］中提出的一整套理论）。

[3]所以结果都得自于W.费勒，《概率论及应用导论》，第三版，第Ⅲ章，第4节，特别是第82页及下页。此书第252页的几个脚注中标明了所引用的原始论文。

[4]例如考虑下面这个序列
001100001111000000001111111100000000000000001111111111111111…
即2n个0接着2n个1再接着2n+1个0……，因此这个0和1构成的序列的极限是1/2。在这个序列中，对于任何选定长度的片段，偶然出现近似代表性片段〔即具有1/2性质的片段〕的概率接近于零（哪怕我们对近似程度要求非常低）。在我看来这就明确地反驳了卡尔纳普的下述断言（《概率的逻辑基础》，第500页）：不需要独立性条件，“如同无穷总体中的情况一样……”二项式定理也完全适用于此总体的“某一给定的连续有序元素列”。［*我要重申一句，1965年戴维·米勒已经表明了简单归纳规则在逻辑上是悖论。见他的“一个信息悖论”，载《英国科学哲学杂志》17，1966年，第59-61页。］

[5]C.S.皮尔斯，“概然推理理论”［A Theory of Probable Inference］，见约翰斯·霍普金斯大学［Johns Hopkins University］学友编纂的《逻辑研究》［Studies in Logic］，1883年，第161页；参见《选集》［Collected Papers］，第ⅱ卷，第461页。（对照卡尔纳普，前引书，第212页。）

[6]我并没有说独立性是成功应用简单归纳规则的必要条件，因为我们显然有如下平凡事实：对于（非独立性）序列01010101…简单归纳规则是可以得出正确的频率估计的（甚至能正确地预测所有单一情形）。但对于大数量情形，独立性就是必要条件；我们甚至可以用“2”来代替“01”而将上述序列重新解释为22222…，而这个转换可以将它连同所有因果序列一起变成独立序列类，用公式来表述就是“如果p（a）=1那么p（ab）=p（a）p（b）”。

[7]我认为卡尔纳普的下述文字简直就是在转而求助于客观概率了；见其“归纳逻辑和科学”［Inductive Logic and Science］《美国艺术与科学院学报》［Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences］，第80卷，第3号，1953年3月，第191页）：“对于下述两个问题，我们的回答是一样的：其一是‘我们要制造出多长的骰子投掷序列才能判定出它的概率？’其二是‘我们应当用一个多好的温度计去测量温度？’在两个问题中我们的答案都取决于下面两点：第一，有效的时间和金钱；第二，我们希望达到的精确程度。它尤其取决于我们希望更高的精确性所能带来的理论上的和实践中的优点。温度计越好，投掷序列越长，那么我们能获得的精确性也就越高。在这两个情形中都不存在什么完美的解决过程。”

[8]例如，见R.卡尔纳普，《归纳方法的连续统》，1952年，第14页，规则C9，那里断言了“某一给定的骰子下次投掷将得到奇数点的（逻辑意义上的）概率一般情况下被认为是（原文如此）仅仅取决于此粒骰子至今为止所得到的奇数点结果和偶数点结果的数量”。（粗体为我所加。）

[9]对照阅读我在论文“科学哲学：本人的报告”（重印为《猜想与反驳》第1章）第ⅳ和ⅴ节中对休谟的归纳观点的分析；参见《逻辑》附录*ⅹ。

[10]卡尔纳普在其《概率的逻辑基础》（1949年）和后续著作《归纳方法的连续统》（1952年）中考虑了“归纳方法”的构造，这与我在此处论述的建构归纳机器的最初始阶段（ⅰ）有着密切的对应关系；《归纳方法的连续统》中提出的好几种归纳方法表明卡尔纳普曾多次试图解决我在这里描述为“无足轻重”的那个问题。这个问题就是如何避免简单归纳规则以其最原始的形式得出有违直觉的初始结果。例如参见《概率的逻辑基础》第227页，卡尔纳普在那里讨论了他所谓的“直接规则”——即我们的简单规则——认为它能给出确切的结果而非近似的结果。（这就是为什么卡尔纳普提出了两个反对意见——其一涉及到规则的初始结果，其二涉及的是如下事实：几乎在任何时刻我们都不能将诸如零这样的极端概率赋予到那个时刻为止任何尚未经观察的事件。但如果我们用“趋近于零”代替“零”，第二个反对意见也就无从说起了。）卡尔纳普的“归纳方法的连续统”包括了各种方法，使我们：第一，即便是在我于上文中描述的“n”的数量级之下，也能获得不是那么不合情理的结果；第二，能选出这个数量级n。因为他相信归纳理论必定是一个逻辑理论，所以他在其《概率的逻辑基础》中（第563页及以下各页）试图给出一种逻辑证明，以判断如何选取此问题的特定解。但他似乎在《归纳方法的连续统》中放弃了这个尝试，因为后者强调了可能的解的多样性。（因此卡尔纳普的数字λ和开米尼的数字κ可以看作我所提出的数字“n”的某种非常精巧的代替。）

[11]关于最后这三段文字，对照我的论文“科学哲学：本人的报告”（见前节注2）第ⅴ节末尾，以及《逻辑》附录*ⅹ。

[12]在这里我给出的是一个简化形式，它的依据在于我们可以用合取式来进行、内容分析。更为正式的讨论需要引入关系原子陈述的合取（这样一来关系原子陈述的逻辑独立性就将成为论证的核心部分）。

[13]［*（1981年1月增补）对于这里的讨论戴维·米勒给出了不少重要的评注，其中有两点是值得提及的。
（ⅰ）米勒指出，我们应当去考虑种种（非概率）逻辑独立性（例如完全独立性或极大独立性［maximal independence］：见塔尔斯基，《逻辑学、语义学和元数学》，1956年，第36页）中有哪一些是与概率独立性有关系的。而他实际上也构造了一种关联，连接起概率独立性和极大独立性：两个陈述a和b是（据H.M.谢弗［H.M.Sheffer］）极大独立的，如果a∨b是重言式，即p（a∨b）=1；而米勒证明了，如果p（a∨b）=1（并且p（b）≠0），那么b就没有可能支持a：它只能推翻a或（至多）中立于a。米勒的证明是间接的：他表明如果p（a，b）＞p（a）那么p（a∨b）＜1。［从p（a，b）＞p（a）和p（b）≠0我们有p（ab）＞p（a）p（b），因而有p（a∨b）＜p（a）+p（b）-p（a）p（b）=p（a）（1-p（b））+p（b）≤1-p（b）+p（b）。因此p（a∨b）＜1。］
（ⅱ）米勒用这个证明来确立下述定理（6）：如果b无需蕴涵a就能支持a，那么总存在两个陈述x和y，使得a=xy，而当b至多中立于x时，y包含b所蕴涵的a的所有内容。（证明：令x=a∨b，y=a∨b。那么b不可能支持x，因为x∨b是重言式。顺带指出，我们也可以说x和y是极大独立的，并将它们称为“相对于a是极大独立的”。）］

[14]R.卡尔纳普，“论确证的比较概念”［On the Comparative Concept of Confirmation］，载《英国科学哲学杂志》3，第315页。（关于这个规则的表述，见第314页T1和第316页A4。）

[15]除了“红或蓝”游戏之外，我还在《逻辑》附录*ⅶ注9中构造了一个特性B的例子，它们都与“实例相关定理”相矛盾。我承认B只能在比卡尔纳普的语言内容更丰富的语言中进行构造，但如果某个规则一旦扩展到更丰富的语言中就会产生矛盾的话，那它显然不能成为一种逻辑原则或是分析的，特别是如果并不存在支持它的论证的话（除了那种“超越性”论证；对照附录*ⅶ注3）。

[16]［*它成为一致的仅当它被应用于某一客观上独立发生的（足够长的）稳定化序列之中；但只要它断言这些发生的事件是相关的（因此与独立性对立），那么它就是不一致的。但是，如果这个序列是稳定化的，这种理论上的不一致性并不会妨碍其应用。（当然，“红或蓝”游戏表明它绝对不能应用于客观上独立的序列中。）参见戴维·米勒，“一个信息悖论”，载《英国科学哲学杂志》17，1966年，第59-61页。］

[17]粗体为休谟原文所有。对照休谟的《人性论》，1739-1740年，第ⅰ卷，第ⅲ部分，第ⅵ和xⅲ节。（塞尔比-比格版本，第89、139和91页。）休谟非常明白，求助于概率是无法改变这个情况的。因此他在其《人性论简说》中写道：“显然地，人类及其所有科学都从未能证明，自然的过程必定是同一的延续的……不仅如此，我将提出下述进一步的论断：人类甚至无法用任何概然的论证证明未来必定是与过去相一致。所有概然的论证都必须基于如下假设：未来和过去之间存在着某种一致性；因此这些论证都永远无法证明它。”对照《人性论简说》，1740年，J.M.凯恩斯和P.斯拉法［P.Sraffa］编辑，1938年，第15页。（粗体为休谟原文所有。）

[18]〈见《猜想与反驳》，第27页和第190-192页。编者注〉

[19]《概率的逻辑基础》，第565页。

[20]在这一点上我要澄清一个问题：我的“验证度”（或确证度或可接受度）可以根据逻辑概率来加以定义，以此目的而言它是完全够用的。但它显然不等同于逻辑概率或任何其他满足概率计算的函数。

[21]《概率的逻辑基础》，第192页及下页。（粗体为我所加。）下面两段引文来自第194页及下页和第196页。

[22]我当然非常不赞成这个论断，但我们仍应注意到J.S.穆勒在《逻辑》第ⅱ卷第ⅲ章3中作出的类似的表述：“所有推理都是从特称命题到特称命题。”

[23]罗素也做过几乎是同样明确的阐述，参见其《人类的知识》，1948年，第435页（第ⅴ部分，ⅶ，E）。

[24]［*（1980年增补）根据卡尔纳普的论述（见其《概率的逻辑基础》），概率逻辑虽然是演绎逻辑的推广，但它不包括“作出推理，而是在于指派概率”（见他在《归纳逻辑问题》中的评注，I·拉卡托斯编，1968年，第311页）。但指派概率显然意味着在具有被指派的较高概率的可能假说所组成的类中选取需要的假说。而这个选取过程当然算是一种归纳推理的运用。］

[25]在此我不打算讨论由术语“任何未来…类”所引发的问题（虽然这个术语会产生悖论性的结果），因为在我看来，有些其他问题更为基本，更值得论述。

[26]如果将卡尔纳普的《概率的逻辑基础》第551页中的公式T 106-1，+c，转换成我们这里的符号，它就完全等同于（1）和（2）。如果仅仅考虑“最佳估计”的话，在此公式中卡尔纳普没有使用他的表达式“概率1”（或“p1”），这对应于我们的“pi”，以及“概率2”（或“p2”），这对应于我们的“ps”。公式T 106-1，+c，实质上就意味着“p1=p2”（更精确地说，“最佳p2等于P1”），转换过来也正是我的（2）所表达的内容。卡尔纳普得出此等式的定义是第525页的+D 100-1；对照第169页的（3）。

[27]见上。要经过非常复杂的步骤才能从卡尔纳普的著作中推导出此公式。

[28]这完全等同于其他主观主义认识论中的问题情境，例如卡尔纳普的《世界的逻辑结构》中的那种认识论，我已在我的论文“科学和形而上学之间的分界”中表明了这一点，此文见P.A.希尔普编，《在世哲学家丛书》卡尔纳普卷，第2节注释27对应的文字；参见《猜想与反驳》第11章；《世界的逻辑结构》的语言也仅仅包含着那些要么重言的、要么矛盾的陈述。

[29]我发现这个暗中包含的观点也体现在R.卡尔纳普的论文“作为生活指南的概率”［Probability as a Guide in Life］中，见《英国科学哲学杂志》44，1947年，第144页（第二段末尾）。

[30]见我在上文第19节注3中提到的我的论文“科学和形而上学之间的分界”；我在《英国科学哲学杂志》上的三篇论文，分别载于5，1954年，第143页及以下各页，6，1955年，第157页及以下各页，和7，1956年，第249页及以下各页；以及《逻辑》附录*ⅶ到*ⅸ。参见“论卡尔纳普视角中的拉普拉斯演替规则”［On Carnap's Version of Laplace's Rule of Succession］，《心灵》71，1962年，第69-73页，以及“奥多芙的神秘：回答杰弗里教授和巴-希莱耳教授”［The Mysteries of Odolpho：A Reply to Professors Jeffrey and Bar-Hillel］，《心灵》76，1967年，第103-110页。

[31]〈见《后记》第二卷和第三卷，那里详细讨论了决定论和物理学的问题。编者注〉

[32]这两个引言性质的问题是卡尔纳普提出的，见其《概率的逻辑基础》第189页；参见上文第4节，从脚注1到此节末尾。

[33]此问题是杰弗里斯在这里陈述的意义上提出的，见《概率论》［Theory of probability］，第一版，第34页；第二版，第33页。

[34]参见《逻辑》第27节，特别见札记2和注释*1，以及对应的文字。〈参见“论知识和无知的来源”，《猜想与反驳》第3-30页。编者注〉

[35]请注意，e是有限的，因此涉及的是有限度的速度、力、能量等等。因此我们只需在此有限范围内选取一个符合h1的h2，且使h2恰好偏离出h1的范围。

[36]见我的《客观的知识》，第102页。