5.3.2  多峰性和拓扑优化

表5-2所示为三个方向加以约束的平板，在重量一定的条件下尽可能提高第1阶固有振动频率的优化分析结果。依据分析结果，由于所采用的方法不同，目标函数（此处是指固有振动频率）出现多个最大值，表明这是一个设计领域内具有多峰值的强非线性问题。图5-10所示为类似的优化分析的概念图。对于仅从原始值（平板）进行的线性灵敏度分析方法，只能得到最靠前的较低峰值。新设计构想的较优越的设计B～D，可以得到较高的峰值。不管哪一种情况，设计构想如果能达到峰值的根部附近，则将成为登上峰顶的充分的线性问题。类似这种基于工程设计与技术经验的新构想和系统性优化方法的综合应用是非常重要的。但是，在缺乏未知领域的技术经验时，就只能依赖非线性等较为牵强的方法进行大量的反复计算。最近随着计算机能力的提高和高效方法的开发，各种实用性的分析方法已经成为可能。

表5-2 提高平板的固有振动频率的研究

①引用自以下论文

图5-10 多峰及强非线性设计领域的优化问题(https://www.daowen.com)

作为已经成熟的研究方法，基于自由度较大的均质化法的拓扑优化方法可以应用于动态问题。因此，基于FEM法的结构分析、灵敏度分析与传统的优化系统的组合，作为一种新的尝试手段已经成为非常有力的分析方法。

当均质化法应用于固有频率的优化问题时，根据大规模的结构布置变更有时会使固有模态的顺序发生变化。因此，为了保证解的稳定性，有必要同时对多个固有模态进行控制，一般由乘以目标权重系数的固有模态平均值定义的一般化固有模态分析解法（multi eigenvalue optimization）。

图5-11所示为两端单纯支撑的梁的固有模态的优化问题案例。单一固有模态优化问题（SEO）得到了稳定的解。

图5-11 固有值相关的布置优化问题

a）初期构造 b）最佳化布置（关于2阶模态） c）优化流程