1.1.1　罗素悖论

1902年6月，德国著名数学家哥特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）正踌躇满志地等待他的巨著《算数基本规律》第二卷（Grundgesete der Arithmetik，Band Ⅱ）的出版。第一卷早在1893年业已出版，这个时候，第二卷已经在送往印刷厂的路上了。他自己也知道这本书的出版会给他带来多么大的荣耀。此时的他坚信自己已经完成了人类知识体系中的一个重大工程，把全部数学建立在逻辑的牢固基础上，并令人信服地证明了一些诸如“对于任意性质ψ，存在集合X=｛x|ψ（x）｝，X恰好含有所有具有性质ψ的对象”等命题。

当他正陶醉于自己的这一重大发现时却收到了英国数学家、哲学家贝特兰·罗素（Bertrand Russell）的一封信。信中写道：“令ψ为性质‘不属于自己的集合’，亦即ψ（x）=｛x|x∉x｝，根据弗雷格的证明，存在集合R=｛x|ψ（x）｝。R恰好包含所有‘不属于自身’的集合。由于R本身是集合，所以可以问R是否属于R呢？如果R是属于R的，根据R的定义，R有性质ψ，可是性质ψ是已经说过不属于自身的，因此，R∉R；如果R∉R，则R是不属于自身的集合，因此有性质ψ，根据R的定义，就有R∈R。所以，R属于R当且仅当R不属于R。”^[1]

罗素的这封信使弗雷格陷入极度矛盾之中，因为罗素的这封信动摇了他重大工程的基础。果然，在第二年出版的《算数基本规律》第二卷中，读者意外地发现多出了一个附录，其中透露出弗雷格多少有点懊恼的心情：“对于一个科学工作者来说，最不幸的事情莫过于：当他的工作接近完成时却发现那大厦的基础已经动摇。而贝特兰·罗素的一封信却置我于这样的境地。”^[2]