▶2.3.3　利用最小势能原理建立有限元整体分析方程

▶2.3.3　利用最小势能原理建立有限元整体分析方程

设弹性体划分为m个单元，任取其中一个单元j，由式（2.33）可得，该单元的应变能为

由于应变能是标量，将全部单元的应变能进行叠加，即可得到整个结构的总应变能

s是把单元的结点位移δ1，δ2，…顺序排列出来，相同的项并未归并。ks是未经集合的整体刚度矩阵，即把各单元刚度矩阵k1，k2，…，km作为主对角线上的子矩阵列入，其余子矩阵为零。于是，式（2.51）可写作

将整个结构结点位移列阵δ与列阵s之间的转换关系记为

式中　A——转换矩阵。

把式（2.55）代入式（2.54），令

整理，可得到

式中　K——结构的整体刚度矩阵。

由于整体结点荷载FL都作用于结点上，所以荷载在变形过程中所做功W为

由第2.2.5节可知结构的总势能为

将式（2.52）和式（2.54）代入上式，得到

由最小势能原理，有

故得到

可以看出，由最小势能原理得到的方程组（2.61）与由结点平衡条件得到的方程组（2.48）是完全相同的。