▶4.3.2 轴对称单元
采用有限单元法求解时，一般采用的单元是轴对称的整圆环，它们的横截面（与rz轴相交的截面）一般采用三角形，例如图4.12中的△ijm，也可以是其他类型的单元。为了简便起见，这里只讨论三角形单元。各个单元之间系用圆环性的铰相互连接，而每个铰与rz面的交点就是结点，例如i，j，m等。这样，各单元将在rz面上形成三角形网格，就像平面问题中各三角形单元在xy面上形成的网格一样。
图4.12 轴对称问题三角形环单元
（1）单元位移模式
仿照平面问题，取线性位移模式
得到与平面问题中相似的插值函数，即
插值函数式（4.55）可以写成矩阵形式
式中
（2）应力应变
将式（4.55）代入轴对称问题的几何方程，得出用结点位移表示单元应变的表达式
由式（4.64）可见，应变分量εr，εz，γzr，在单元中是常量，但环向正应变εθ不是常量，因为它与公式所示的各个fi有关，而各个fi是坐标r和z的函数。为了简化计算，也为了消除对称轴上由r=0所引起奇异性的麻烦，把每个单元中的r及z近似地用单元中心点的坐标代替，
取为
这样也就把各个单元近似地当作常应变单元
单元中的应力表示成为
则应力矩阵可以表示为
（3）单元刚度矩阵
建立单元刚度矩阵时，为了避免非常复杂的积分运算，也将采用简化问题的公式。这样，每个单元中的应变及应力都成为常量，则轴对称问题的单元刚度矩阵为
将单元刚度矩阵写成分块形式
（4）单元等效结点荷载
对于单元体力f=[frfz]T，单元结点荷载列阵为
对于分布面力
，单元结点荷载列阵为
【例4.1】 在体力为自重的情况下，有fr=0而fz=-ρ，其中ρg是容重。于是有
和在平面问题中一样，可以利用面积坐标并建立关系式
如果单元离对称轴较远，可以认为ri，rj，rm大致相等，则由上式得出简单的结果：可将1/3自重移置到每个结点。
【例4.2】 设在ij边作用线性分布的径向面力，如图4.13所示，则有
，于是由上式可得
将式（b）代入，并注意ij的边上Lm=0，即由上式可得
图4.13
应用积分公式，即得
如果单元离对称轴较远，可认为ri与rj大致相等，则由上式得出简单的结果：可将面力合力的2/3移置到结点i，1/3移置到结点j。
有了单元刚度矩阵和单元荷载列阵的计算公式，就可按照前述方法装配得到整体刚度矩阵和整体荷载列阵。