▶3.3.1 4结点矩形单元（一次单元）
图3.7 4结点矩形单元
4结点矩形单元是有限元方法中一种平面基本单元。由于它采用了比3结点三角形单元更高阶的位移函数，能更好地反映弹性体中的位移和应力状态。
图3.7表示边长分别为2a×2b任意的4结点矩形单元，单元有8个自由度。
单元位移列阵为
单元结点力列阵
（1）位移模式
参照Pascal三角形，首先选择完全一次项：1，x，y，其次应在二次及以上项中选择1项。可以看到，无论考虑坐标对称性或收敛性要求，应当选择xy这一项。则单元位移模式取如下形式函数
由于矩形单元其边界总是平行于坐标方向的，因此，在任意边界上位移函数均为x或y的线性函数，式（3.35）也称为双线性模式。单元位移模式包含完全的一次项，满足完备性要求。单元各边界均包含两个结点，可唯一确定线性函数，故满足连续性条件，单元为完备协调元。
（2）局部坐标
根据矩形单元边界的几何特性，为便于运算，引入无量纲局部坐标系（ξη），如图3.7所示。
ξη与xy坐标系之间的转换关系为
式中
为矩形形心位置坐标。
于是，矩形单元均可变换为边长为2×2的正方形单元，如图3.8所示。形函数的构造将在局部坐标系（ξη）中进行，而通过坐标变换式（3.36），可将局部坐标系中构造的形函数映射到整体结构中所有矩形单元。
根据复合函数微分法则，由式（3.36）可得
图3.8 矩形单元局部坐标
（3）构造形函数
单元位移插值函数
采用与上一节相同的方法，在局部坐标下构造结点1的形函数N1。
设N1=c（ξ-1）（η-1），由（N1）
，得
，故有
同理，可得其他形函数。
写作统一格式
式中，ξ0=ξiξ，η0=ηiη。
（4）单元刚度矩阵
平面问题单元刚度矩阵一般可表示为
（5）单元等效结点荷载
参照式（2.45），单元等效荷载可写作
例如，对于重力问题（设容重为ρg），代入式（3.48），单元等效结点荷载列阵为：
