5.4 8结点六面体三维实体等参单元
当结构不能简化为平面问题时，需要划分为三维实体单元进行分析。典型的三维实体单元为六面体单元，六面体单元可以取为8个角结点，称为8结点三维实体元。如果在六面体的每条棱边中点各增加一个结点（称为边中结点），每个单元就有20个结点，这种单元称为20结点三维实体单元。
图5.9（b）为一个任意8结点六面体单元，与平面问题类似，建立一个与此单元对应的边长为2的8结点正立方体单元，并建立局部坐标系ξηζ，坐标原点在正立方体的形心，如图5.6（a）所示，此即母单元。
图5.9 8结点六面体单元
（1）母单元位移函数
参照式（4.41），母单元的位移模式设为
单元插值函数可以表示为
式中Ni（ξ，η）为形函数，参照式（4.52）由式（5.34）给出
式中，ξ0=ξiξ，η0=ηiη，ζ0=ζiζ。
式（5.33）可写作矩阵形式
即
（2）等参坐标变换
对图5.6（b）所示为整体坐标系xyz与图5.6（a）所示局部坐标系ξηζ两种坐标系采用式（5.36）进行变换
式中，变换函数Ni（ξ，η）即为位移函数（5.20）中的形函数。
坐标变换式（5.36）使实际的任意8结点六面体子单元[图5.6（a）]与8结点正立面体母单元[图5.6（b）]的8个角结点一一对应，子单元6个平面、12条直边与母单元6个平面、12条直边一一对应，并使子单元内各点与母单元各点一一对应。这样相当于把实际的任意六面体子单元映射为正立方体母单元。
（3）单元刚度矩阵
将式（5.33）代入几何方程，可得单元应变列阵
则式（5.35）可以写为
其中，B——单元几何矩阵。
参照2.2.5节分析，根据最小势能原理可得到单元刚度矩阵计算公式，即
式中，D为三维弹性矩阵：
由式（5.38）可以看到，矩阵B中的元素是形函数对整体坐标x，y，z的偏导数，而形函数是局部坐标ξ，η，ζ的函数，所以，要计算形函数Ni对x，y，z的导数，需要进行坐标变换。
与平面等参单元单元刚度矩阵的计算方法类似，根据复合函数求导规则，由坐标变式（5.36），有
或用矩阵表示为
即
式中，J为坐标变换的雅可比矩阵
对式（5.29）两边左乘以雅可比矩阵的逆矩阵J-1，则可得到
式中 J-1——雅可比矩阵的逆矩阵。
J中的各元素可由式（5.36）对坐标求导得到，即
雅可比矩阵J可写为如下的矩阵形式
有了上述的转换公式，可求得应变矩阵B中的各元素。
下面简述式（5.40）中积分元dx dy dz的变换。
从图5.9可以看到，dξ，dη，dζ在整体坐标系内所形成的体积微元为
其中
式中，i，j和k是笛卡尔坐标x，y和z方向的单位向量。将式（s）式代入式（r），得到
因此，单元刚度矩阵可写作
（4）单元等效荷载列阵
令
为单元等效荷载列阵
式中
由虚功方程可得单元等效荷载列阵
式中 Sσ——单元承受面力的曲面；
f——单元体力列阵；
——面力列阵。
由式（5.46），故式（5.48）可写作
对于式（5.49）中面积微元dS，例如在ξ=c（常数）的面上有
其他面上的dA可以通过轮换ξ，η，ζ得到。
单元等效荷载列阵子块
