▶5.6.3 三维高斯积分
对于三维数值积分，数值积分为
对于二维、三维数值积分，积分点数在不同的坐标方向上可以根据具体情况取不同的值。同样，如果f（ξ，η，ζ）是不高于2n-1次的多项式，则式（5.65）和式（5.66）积分的计算是精确的。
可以证明，收敛性所要求的数值积分的最低阶数，就是算出单元体积所用的阶数。也就是说最低阶数应当取决于
的表达式中多项式的次数。但计算实践表明，利用低阶积分法则，可以降低单元的刚度，以补偿由于假定位移场引起的结构过于刚硬的情况。各种单元的最佳积分法则通常用试凑和经验来确定。表5.3给出推荐的高斯积分计算的阶数，其在实际应用中已经证明是有效的。
表5.3 等参单元高斯积分计算建议采用的阶数
【例5.2】 设N1=
（1+ξ）（1+η），采用高斯积分法计算
沿η=1的值。
【解】 由于积分沿边界η=1，所以
采用高斯积分法，因为被积函数为一次函数，可以取1个高斯积分点。由表5.1知，积分点坐标ξ1=0，权系数ω1=2.0，所以，
高斯积分计算结果与解析解相同。
【例5.3】 设N1=
（1+ξ）（1+η）（ξ+η-1），采用高斯积分法计算
沿η=1的值。
【解】 首先求解析解
采用高斯积分，因为被积函数为二次函数，可以取2个高斯积分点，即2点高斯积分，由表5.3可知，积分点坐标
，权系数ω1=ω2=1.0，所以有
【例5.4】 如图5.11所示4结点四边形等参元，计算有限单元刚度矩阵所需的表达式。
【解】 母单元的形函数为
由坐标变换式
图5.11 二维4结点单元
可得到
代入位移插值函数得
单元的应变由下式给出
因此，对于-1到1中的任意ξ和η都可以使用表达式∂x/∂ξ，∂x/∂η和∂y/∂ξ，∂y/∂η构成Jacobi算子J，假设在ξ=ξi和η=ηi处计算J，而用Jij表示算子J，det J表示行列式，则有
为了计算单元应变，使用如下公式
计算式（a）和式（b），可以建立点（ξi，ηj）处Bij计算的公式。例如，如果x=ξ，y=η（即一个方形单元的刚度矩阵要求边长为2），Jacobi算子是单位矩阵，因此有
由此可得对于4结点四边形，有
F=
，而积分是在单元的自然坐标下进行的。如上所述的F的元素依赖于ξ，η，但通常不计算具体的函数关系。使用数值积分，可按如下方程式计算刚度矩阵
其中，tij是单元在采样点（ξi，ηj）处的厚度（在平面应变分析中tij=1.0）。在给定矩阵Fij和加权因子αij可用的情况下，能方便地计算所需的刚度矩阵。
在实际应用中，应该注意到在计算Jij，式（a）和式（b）定义的位移导数矩阵时，只需要插值函数N1，…，N4的8个可能的导数。因此，最好是开始计算Bij时就计算点（ξi，ηj）对应的导数，且在任何需要它们的时候使用即可。