3.4.3　质点的角动量守恒定律

2026年01月14日

版权

3.4.3　质点的角动量守恒定律

由式(3.33)可以看出,若质点所受合力矩为零,即M=0,则有

式(3.38)表明,当质点所受对参考点O的合力矩为零时,质点对该参考点O的角动量为一恒矢量。这就是质点的角动量守恒定律。

应当注意,质点的角动量守恒的条件是合力矩M=0。这可能有两种情况:一种是合力F=0;另一种是合力F虽不为零,但合力F的作用线通过参考点O,致使合力矩为零。质点做匀速圆周运动就是一个例子。质点做匀速圆周运动时,作用于质点的合力是指向圆心的有心力,故其力矩为零,所以质点做匀速圆周运动时,它对圆心的角动量是守恒的。有心力即力的作用线始终过定点的力,且该定点称为力心。不仅如此,只要作用于质点的力是有心力,有心力对力心的力矩总是零,所以在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。太阳系中行星的轨道为椭圆,太阳位于两焦点之一,太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力,因此如以太阳为参考点O,则行星的角动量是守恒的。

例3.10 已知地球的质量m=6.0×1024 kg,地球与太阳的中心距离r=1.5×1011 m,若近似认为地球绕太阳做匀速圆周运动,v=3×104 m/s,求地球对太阳中心的角动量。

解如图3.18所示,O点为太阳中心,地球对太阳中心的角动量L=r×m v。因为r与v垂直,θ=,故角动量的大小为

在图3.18所示的情况下L垂直于r、v构成的平面,方向向上。

由例3.10可见,对于做圆周运动的质点,由于矢径r与速度v时刻都彼此垂直,故质点对圆心O的角动量的大小L=mrv。如果是做匀速率圆周运动,角动量的大小是一常量。

例3.11 如图3.19所示,一质点以速度v沿l方向做直线运动,求质点对直线外一点O的角动量。已知质点的质量为m,O点到直线的垂直距离为d。

图3.18　例3.10用图

图3.19　例3.11用图

解设任一时刻质点到O点的矢径为r,质点角动量的大小为

L=rmv sinθ=mvd

d为O点到直线l的垂直距离,也是O点到速度v(或动量p)矢量延长线的垂直距离,可以称为动量臂,因此角动量的大小也可以表示为动量与动量臂的乘积,故而角动量也称为动量矩。

在例3.11中,若质点做匀速直线运动,任意时刻质点对O点的角动量的大小和方向都是恒定的,是一个守恒量。

例3.12 如图3.20所示,竖直平面内有一半径为R的光滑圆环,一质量为m的小球穿在圆环上,从与环心O水平的A点开始自由下滑。求小球滑动角度θ时对环心O的角动量和角速度。

图3.20　例3.12用图

解小球受重力和支持力的作用。

力矩的定义为M=r×F,支持力沿半径方向,力矩为0;重力矩垂直纸面向里,大小为

M=mg R cosθ

由质点的角动量定理M=得由角动量的定义L=r×p得

L=Rmv=R 2mω

可得积分关系

解得

例3.13 我国第一颗人造地球卫星“东方红”绕地球运行的轨道为一椭圆,地球在椭圆的一个焦点上,卫星在近地点和远地点时距地心分别为r 1=6.82×106 m和r 2=8.76×106 m,在近地点时的速度v 1=8.1×103 m/s,求卫星在远地点时的速度v 2。(https://www.daowen.com)

图3.21　例3.13用图

解作示意图如图3.21所示,卫星在轨道上任一处受地球的引力始终指向地心,引力对地心的力矩为零,因此卫星对地心的角动量守恒,在近地点的角动量等于在远地点的角动量。设卫星质量为m,在近地点,

L 1=mr 1v 1

在远地点,

L 2=mr 2v 2

由角动量守恒,即

L 1=L 2

得

在例3.13中,卫星受到地球的引力作用,引力的冲量要改变卫星的动量,动量是不守恒的。但是引力对地心的力矩为零,卫星对地心的角动量守恒,这就显示出在这一类问题的处理中角动量守恒的重要性。

图3.22　例3.14用图

例3.14 光滑水平台面上有一质量为m的物体拴在轻绳的一端,轻绳的另一端穿过台面上的小孔被一只手拉紧,并使物体以初始角速度作半径为r 0的圆周运动,如图3.22所示。手拉着绳以匀速率v向下运动,使半径逐渐减小,求半径减小为r时物体的角速度ω;若以向下开始拉动时为计时起点(t=0),求角速度与时间的关系ω(t)。

解在水平方向上,物体m只受绳的拉力作用,拉力对小孔的力矩为零,物体对小孔的角动量守恒,有

mrv=mr 0v 0

考虑到v 0=r 0ω0,v=rω,应有