6.4.2 电容器
1.电容器的电容
实际上,孤立的导体是不存在的,周围总会有别的导体,当有其他导体存在时,则必然因静电感应而改变原来的电场分布,影响导体电容。下面我们具体讨论电容器的电容。
两个带有等量异号电荷的导体所组成的带电系统称为电容器。电容器可以储存电荷,下文将看到电容器也可以储存能量。
如图6.21所示,两个导体A、B放在真空中,它们所带的电量分别为+q、-q,如果A、B电势分别为V A、V B,那么A、B之间的电势差为V A-V B,电容器的电容定义为
若将B移至无限远处,V B=0,上式就是孤立导体的电容。孤立导体的电势相当于孤立导体与无限远处导体之间的电势差。所以,孤立导体电容是B放在无限远处时
的特例。导体A、B常被称为电容器的两个电极。
图6.21 电容器
2.电容器电容的计算
(1)平行板电容器
图6.22 平行板电容器
这种电容器由中间充满电介质的两块平行金属极板组成。如图6.22所示,设A、B两极板平行,面积均为S,相距为d,电量为+q、-q,极板线度比d大得多,且不计边缘效应,所以A、B间为均匀电场。
由高斯定理知,A、B间场强的大小为
可见,平行板电容器的电容仅与电容器的形状、尺寸、电介质有关,与极板的面积成正比,与极板间的距离成反比。
增大电容的方法有:
①插入纸片、陶瓷等;
②增大极板面积,但该方法成本高。
(2)球形电容器
这种电容器由两个同心金属球壳组成,两球壳之间充满电介质(图6.23)。设有两均匀带电同心球面A、B,半径分别为R A、R B,电荷为+q、-q。分析:电场只分布在两极板之间,A、B间任一点场强的大小为
下面讨论两种极端情况:
①当两个半径都很大,且RB-R A≪R A时,有RB≈R A,令R B-RA=d,则这就是平行板电容器电容的表达式。
②当外半径R B远远大于内半径R A时,外球壳在无穷远处,有
这就是半径为R A的孤立导体球在电介质中的电容。
(3)圆柱形电容器
圆柱形电容器是两个同轴柱面极板构成的。如图6.24所示,设A、B半径为R A、RB,电荷为+q、-q,除边缘外,电荷均匀分布在内外两圆柱面上,单位长柱面带电量λ=
,l为柱高。
图6.23 球形电容器
图6.24 圆柱形电容器
由高斯定理知,A、B内任一点P处E的大小为可见,圆柱形电容器的电容取决于长度、内外半径的比值以及电介质的电容率。
图6.25 例6.5用图
综上,电容只与电介质、电容器的形状和大小有关,与带电量无关。
例6.5 如图6.25所示,半径为a的两平行长直导线相距为d(d≫a),二者电荷线密度为+λ、-λ,试求:
(1)两导线间的电势差;
(2)此导线组单位长度的电容。
解 (1)如图6.25所示选取坐标系,P点场强大小为
(2)
计算电容的一般步骤如下:
①设电容器两极板带有等量异号电荷q;
②求两极板之间电场的分布,先求真空中的电场E 0,再用E=
求介质中电场分布;
③计算两极板之间的电势差
④根据电容器电容定义计算电容
。
例6.6 如图6.26所示,面积为S的平行板电容器两板间距为d,求:
(1)插入厚度为
、相对介电常数为εr的电介质,其电容变为原来的多少倍?
(2)插入厚度为
的导电板,其电容变为原来的多少倍?
解 (1)如图6.25(a)所示,电介质外的场强为E 0=
,而电介质内的场强为E r=
,所以两板间的电势差为
图6.26 例6.6用图
那么
而C 0=
,所以
(2)插入厚度为
的导电板,如图6.25(b)所示,可看成是两个电容的串联,有
可得
