6.1.2 导体静电平衡时的电荷分布
已知导体静电平衡时的电场分布,可以应用高斯定理来分析导体的电荷分布。
1.导体内无空腔时的电荷分布(实心带电导体)
如图6.4所示,导体电荷为Q,在其内作一闭合曲面S,根据高斯定理,有由于导体静电平衡时其内E=0,所以。
S面是任意的,因此可以任意小,所以导体内处处无净电荷存在。
结论:当带电导体处于静电平衡时,导体内部没有净电荷存在,净电荷都分布在导体表面上。
图6.4 导体内无空腔
2.导体内有空腔时的电荷分布
(1)空腔内无其他电荷或带电体,此时电荷只分布在导体外表面。
如图6.5(a)所示,导体电量为Q,在其内作一高斯面S 1,因为静电平衡时,导体内E=0,所以,则S 1内净电荷为0。因为S 1是任意的,所以导体内无净电荷,电荷只分布在导体表面上。
如图6.5(a)所示,在导体内部作一高斯面S 2,使S 2包围导体空腔。根据高斯定理,S 2内所包围电荷代数和为零。因为空腔内无其他电荷,静电平衡时,导体内又无净电荷,所以空腔内表面上的净电荷为0。
图6.5 导体内有空腔
在空腔内表面上能否出现等量的正负电荷呢?我们设想有这种可能,如图6.5(b)所示,这时在腔内就分布着始于正电荷终止于负电荷的电场线。沿电场线方向电势越来越低,V A>V B,但静电平衡时,导体为等势体,即V A=V B,因此,假设不成立。所以,静电平衡时,腔内表面无电荷分布,如图6.5(c)所示,电荷都分布在外表面上(腔内电势与导体电势相同)。
(2)空腔内有点电荷
如图6.6所示,原来导体带电量为Q,空腔内放一电荷+q,则导体内表面有感应电荷-q,导体外表面电荷为Q+q。静电平衡时E=0,在导体内作一高斯面S 1,不包围空腔,,导体内无净电荷,净电荷分布在导体表面。
图6.6 空腔内有点电荷
如图6.6所示,在导体内作一包围空腔的高斯面S 2,因为,所以有;又因为此时导体内部无净电荷,而腔内有电荷+q,所以腔内表面必有感应电荷-q。
结论:静电平衡时,腔内表面有感应电荷-q;根据电荷守恒定律,外表面有感应电荷+q,外表面总电荷为Q+q;空腔内电荷会影响外部电场。
3.导体表面上的电荷分布
设在导体表面的某一面积元ΔS(很小)上,电荷分布如图6.7(a)所示,过ΔS边界作一小而扁的闭合圆柱S(硬币形高斯面),上下底S 1、S 2均与ΔS平行,侧面S 3与ΔS垂直,柱面的高很小,即S 1与S 2非常靠近ΔS,此圆柱是关于ΔS对称的。S作为高斯面,根据高斯定理有所以有
则得
因此说,带电导体表面电场强度的大小与该表面的电荷面密度成正比(注意与无限大带电平面E=的区别)。
结论:在导体表面附近,E∝σ,导体内电场E=0,即电场强度在导体表面跃迁,如图6.7(b)所示。
图6.7 静电平衡导体表面的电荷分布
4.导体表面的曲率对电荷分布的影响
导体表面的电荷分布与导体的形状及周围的环境有关。根据实验,一个形状不规则的导体带电后,在表面上曲率越大的地方场强越强。由上面讨论的结果可知,E大的地方,σ必大,所以曲率大的地方(即越尖的地方)电荷面密度越大。如图6.8所示,实验表明,把一定量的电荷放到非球形导体上,当达到静电平衡时,导体为一等势体,导体表面为一等势面。在A点附近,曲率半径较小,其电荷面密度和电场强度的值较大;而在B点附近,曲率半径较大,其电荷面密度和电场强度的值较小。图6.9给出了带有等量异号电荷的一个非球形导体和一块平板导体的电场线图像。从图6.9中可以看出,曲率半径较小的带电导体表面附近,电场线密集,电场较强,尖端附近的电场最强。
图6.8 非球形导体表面的电荷分布
图6.9 导体表面的曲率对电荷分布的影响
5.尖端放电
带电尖端附近的电场强度特别大,可使尖端附近的空气发生电离而成为导体。在电场不过分强的情况下,带电尖端经由电离化的空气而放电的过程,是比较平稳、悄无声息地进行的;但在电场很强的情况下,放电就会以暴烈的火花放电的形式出现,并在短暂的时间内释放出大量的能量。这两种形式的放电现象就是所谓的尖端放电现象。例如,阴雨潮湿天气时常可在高压输电线表面附近看到淡蓝色辉光的电晕,就是一种平稳的尖端放电现象。
尖端放电在技术上有很广的用途,如电风吹烛(图6.10)、避雷针等。高大建筑物上都会安装避雷针,当带电云层靠近建筑物时,建筑物会感应上与云层相反的电荷,这些电荷会聚集到避雷针的尖端,达到一定的值后便开始放电,这样不停地将建筑物上的电荷中和掉,永远达不到会使建筑物遭到损坏的强烈放电所需要的电荷。雷电的实质是两个带电体间的强烈放电,在放电的过程中有巨大的能量放出。建筑物的另外一端与大地相连,与云层相同的电荷就会流入大地。
图6.10 电风吹烛
尖端放电也有有害的一面。例如,高压输电线附近的离子与空气碰撞会使空气分子电离而导电,放电浪费了很多电能。尖端放电会使电能白白损耗,还会干扰精密测量和通信。高压输电导线和高压设备的金属元件表面要很光滑,为的是避免因尖端放电而损失电能或造成事故。
尖端放电还与环境状况有关。环境温度越高越容易放电,环境湿度越低越容易放电。在我们的日常生活中,有很多东西应用到尖端放电这个现象,如打火炉、打火机、沼气灯的点火装置等。