§1.4　对换

§1.4　对换

为了研究行列式的性质需要介绍对换,先介绍对换以及对换和排列的奇偶性的关系.

定义1.4.1　在一个排列中,将任意两个元素互换位置,其余的元素不动,就得到另一个排列.这种对排列的变换称为对换.

定理1.4.1　一个排列中任意两个元素对换,排列改变奇偶性.

定理1.4.2　任意一个n级排列p1p2…pn与标准排列1,2,…,n都可以经过对换互相转变,奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.

定理1.4.3　n阶行列式展开式的一般项可以写成

其中,i1i2…in和j1j2…jn是两个n级排列.

证明　由定理1.4.2的结论知道,i1i2…in可以经过一系列对换转化成标准排列1 2…n因此,排列

也可以经过和i1i2…in转化成1 2…n过程相同的对换变成

在式(1.4)转化为式(1.5)的过程中,每作一次对换,元素的行指标和列指标所构成的排列i1i2…in和j1j2…jn也都同时作一次对换,也就是t(i1i2…in)和t(j1j2…jn)同时改变奇偶性,因此,它们的和

的奇偶性不发生变化.因而对式(1.4)作一系列对换后有

综合式(1.4)、式(1.5)和式(1.6),定理1.4.3得证.