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线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组.历史上线性代数的第一个问题是解线性方程组,而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展,这些内容成为线性代数教材的主要部分.
最初的线性方程组模型来源于生活实践,正是实际问题刺激了线性代数学科的诞生与发展.线性方程组的解法,早在我国东汉初年成书的《九章算术》中就记载有求解线性方程组的方法,其计算步骤中的偏乘、直除就类似于今天初等变换的倍法变换和消法变换.而在西方,线性方程组的研究是在17世纪后期才由莱布尼茨开创的.从数学史上看,中国在使用矩阵及其初等变换的历史要早于欧洲1 500多年,这是值得每位中国人为之骄傲和自豪的.作为年轻的学子自当通古博今,从先辈们的突出成就中汲取能量,在科技创新中发扬中国数学家们锲而不舍的科学精神,坚定文化自信,发奋图强,为祖国的科技创新和发展书写新的历史篇章.
线性方程组的解法及相应理论,也在数学家们不断探索中完善.麦克劳林(C.Maclaurin,1698—1746)在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组,得到了现在称为克拉默法则的结果.克拉默不久后也发表了这个法则.18世纪下半叶,法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究,证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零.
19世纪,英国数学家史密斯(H.Smith)和道奇森(C-L.Dodgson)继续在线性方程组理论研究中取得重要成果.
史密斯是牛津大学的一位几何学教授,是对线性方程组理论作出重要贡献的科学家之一.他引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念.在1861年的论文中,史密斯发表了齐次线性方程组的通解概念,他用不定指标、独立解的概念建立了齐次线性方程组完全解集合的概念,证明了任何解都是独立解的线性组合,并进一步指出,要解决非齐次线性方程组,只需找到一个特解,任何解都可以表示成该特解和对应的齐次通解的和的形式.
史密斯并没有考虑独立方程的个数比实际方程的个数小的情况,后来由道奇森解决.道奇森在1867年发表了《行列式初等理论》一书,书中讨论了矩阵和方程的增广矩阵,从增广矩阵来研究方程是否相容,提出并证明了一个确定一般线性方程组解集性质的定理,并用构造的方法给出了证明.道奇森证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同.这正是现代线性方程组理论的重要结果之一.
该定理已经隐含了秩的思想,但是,道奇森并没有抽象出来矩阵的秩的概念.1879年,弗罗比纽斯从前辈的研究中给出了在线性代数中重要的两个概念:矩阵的秩、线性无关性.
早在1879年,弗罗比纽斯研究了史密斯提出的“真正独立的方程”的意义,把这种性质定义为方程和表示方程组的n元组(即向量组)的线性无关性.也是弗罗比纽斯完成了线性方程组的解的性质和各种特殊类型的矩阵的性质的研究.
大量的科学技术问题,最终往往归结为解线性方程组.因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时,线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展.现在,线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要的地位.
某些社会问题也可在方程组的求解中得到体现,我们把等式Ax=b中b视为目的或者产品,A为条件或政策,在实施的过程中,有时会遇到Ax=b无解的情形,即在条件或者政策A的条件下无法达到要求,此时需要通过调查研究来调整A使其有解,达到我们的目标.有时遇Ax=b有无穷多解的情况,因基础解系有多种,我们需要选择其中最优化的或者最可行的基础解系,而且基础解系的选择可以随着目的的变化而变化.
方程组的求解中也蕴含着哲学思想:在求解齐次线性方程组通解的过程中,采用矩阵形式,对其进行初等行变换,对应的线性方程组发生了改变,但变换前后的线性方程组是同解方程,即方程组的解保持不变,体现了形变质不变.在求解齐次线性方程组的无穷多解的过程中又体现了有限和无限的辩证统一:由基础解系生成通解的方法,就是有限生成无限的一种特殊方法,有限(基础解系)能生成无限(通解),无限(通解)又包含有限(基础解系),它们有质的差异,但在一定条件下也可以互相表示.比如,同学们所学专业的知识包罗万象,含有“无穷”多个知识点,可以类似地看成方程组的“通解”,而我们在学习的过程中,时间和精力都是有限的,在有限的四年大学生涯内不可能掌握本专业全部知识,所以我们在学习过程中一定要找到本专业的学科“基础解系”,首先在一、二年级一定要把基础打牢,学好本专业的公共基础课和专业基础课,学好这些课程就掌握了本专业的“基础解系”;然后,到了三、四年级再去学习本专业的其他课程,就类似于有了基础解系生成解空间的过程,学习也会显得得心应手、触类旁通,进而构建起自己的专业知识体系,最终实现由量变到质变的飞跃,为日后更好地继续深造或工作打下坚实的基础,掌握服务社会、报效祖国的本领.
线性方程组作为线性代数的一个重要部分,其解法至关重要.随着计算机学科的发展,因线性模型比复杂的非线性模型更易于用计算机进行计算,而科学研究中的非线性模型通常也可以被近似为线性模型,所以线性方程组有着更为广泛的应用.