3.2.2　向量组和矩阵之间的关系

3.2.2　向量组和矩阵之间的关系

向量组和矩阵之间有着密切的关系.

例如,矩阵A=(aij)m×n有n个m维列向量:

因此,含有有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应.利用向量组与矩阵之间的这种关系,通过矩阵来研究向量组,也可以通过向量组来研究矩阵.

同理,将线性方程组Am×nX=b的系数矩阵A表示成列向量组a1,a2,…,an.则此方程组还可以表示成如下形式:

因此,线性方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.

由上述讨论知,向量b能由向量组A线性表示也就是非齐次线性方程组(3.1)有解.由2.7节定理2.7.2可得如下定理.

定理3.2.1　向量b能由向量组A:a1,a2,…,an线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,an)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…,an,b)的秩.

解　判断b能否由向量组A:a1,a2,a3线性表示,即判断非齐次线性方程组b=k1a1+k2a2+k3a3是否有解,由定理3.2.1知,即需验证A=(a1,a2,a3)与B=(A,b)的秩是否相等.易知