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特征方程的概念最初隐含地出现在欧拉的著作中,拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念.而二次型的系统研究从18世纪开始,它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论.将二次曲线和二次曲面的方程变形,选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状,这个问题是在18世纪提出的.柯西在其著作中给出结论:当方程是标准形时,二次曲面用二次项的符号来进行分类.然而,那时并不太清楚,在化简成标准形时,为何总是得到同样数目的正项和负项.西尔维斯特回答了这个问题,他给出了r个变量的二次型的惯性定律,但并没有证明.这个定律后来被雅可比重新发现和证明.1801年,高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等概念.

三个变量的二次型的特征值的实性则是由阿歇特(J-N.P.Hachette)、蒙日和泊松(S.D.Poisson,1781—1840)建立的.柯西在别人著作的基础上,着手研究化简变数的二次型问题,并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下的不变性.后来,他又证明了r个变量的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和.

不难看出,二次型化标准形的过程渗透了辩证唯物主义思想.二次型化为标准形的过程中对二次型作各种变换得到的标准形在形式上往往具有很大差异,表现出形式上的对立性;从本质上,对二次型进行变换,将问题简单化,把不一样的形式统一到一个规范形,利于分析问题的本质,便于问题的解决;同时,标准形中正负项的个数保持一致,即正定性保持不变,从而在几何形态上都表示同一种类型,体现了实质上的统一性.世界上任何事物都有内在的统一性.坚持内在的核心的正统的价值观对于理解社会具有重要意义.同学们在生活中也要注意善于总结提炼,在纷扰复杂的社会现象中练就透过现象看本质的能力.遇事坚持自己的特质原则,如此才能轻装上阵,提高效率.

1851年,西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时考虑了这种二次曲线和二次曲面束的分类.他引进了初等因子和不变因子的概念,但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论.1858年,魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法,并证明,如果二次型之一是正定的,那么即使某些特征根相等,这个化简也是可能的.魏尔斯特拉斯比较系统地完成了二次型的理论并将其推广到了双线性二次型.从相似变换和二次型的发展历程我们不难发现:世界上的任何一件事情,任何一个表面上的轻而易举,其实背后都有一次一次的亲身实践.也正是这一次次的失败和总结,成就了一代又一代数学领域杰出的人才.