3.4.2　向量组的最大无关组的性质

定理3.4.1　如果αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αn的线性无关部分组,它是最大无关组的充分必要条件是α1,α2,…,αn中的每一个向量都可由αj1,αj2,…,αjr线性表示.

定理3.4.2　向量组与它的任一最大无关组等价.

证明　若向量组线性无关,结论显然成立.下面只对线性相关的向量组进行证明.

不妨设a1,a2,…,ar是向量组a1,a2,…,ar,ar+1,…,as的一个最大无关组,只需证明向量组中后s-r个向量都可被a1,a2,…,ar线性表出.

任取ai(r+1≤i≤s),向量组a1,a2,…,ar,ai线性相关,故ai可被a1,a2,…,ar线性表出.