3.2.3　两个向量组之间的关系及向量组的等价性

定义3.2.4　给定Rm内的两个向量组A:α1,α2,…,αr和向量组B:β1,β2,…,βs,如果向量组B中每一个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.

显然等价的向量组满足等价的所有性质,即具有传递性、对称性和反身性.

设矩阵A与B行等价,即矩阵A经初等行变换变成矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合,即B的行向量组能由A的行向量组线性表示.由初等变换可逆,知矩阵B也可经初等行变换变成矩阵A,从而A的行向量组也能由B的行向量组线性表示.于是A的行向量组与B的行向量组等价.同理可知,若矩阵A与B列等价,则A的列向量组与B的列向量组等价.