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行列式出现于线性方程组的求解过程中,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具.
行列式是由莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716)和日本数学家关孝和(Guan Xiao He,1642—1708)分别发明的.1693年4月,莱布尼茨在写给洛必达(L.Hospital,1661—1704)的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件.日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中也提出了行列式的概念与计算方法.《解伏题之法》的意思就是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开进行了清晰的叙述.
1750年,瑞士数学家克拉默(G.Cramer,1704—1752)在其著作《线性代数分析导引》中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述,并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则.稍后,数学家贝祖(E.Bezout,1730—1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化,利用系数行列式概念指出了判断一个齐次线性方程组有非零解的条件.
总之,在很长一段时间内,行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用,并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外而单独形成一门理论.
在行列式的发展史上,第一个对行列式理论作出连贯的逻辑的阐述,即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人,是法国数学家范德蒙德(A-T.Vandermonde,1735—1796).
范德蒙德自幼在父亲的指导下学习音乐,但对数学有着浓厚的兴趣,后来成了法兰西科学院院士.他给出了用二阶子式和它们的余子式对行列式降阶展开的法则.因此,他是这门理论的奠基人.1772年,拉普拉斯(Laplace,1749—1827)在一篇论文中证明了范德蒙德提出的一些规则,推广了他的行列式展开的方法.
继范德蒙德之后,在行列式的理论研究方面,另一位作出突出贡献的人是法国大数学家柯西(A.L.Cauchy,1784—1857).1815年,柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理.其中的主要结果之一是行列式的乘法定理.另外,他第一个把行列式的元素排成方阵,采用双下标记法;引进了行列式特征方程的术语;给出了相似行列式概念;改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明.
19世纪的半个多世纪中,对行列式理论研究始终不渝的数学家之一是詹姆士·西尔维斯特(J.Sylvester,1814—1894),他还在1850年提出了矩阵(matrix)概念.
在行列式理论方面成果最多的人是德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804—1851),他引进了函数行列式,即“雅可比行列式”,指出函数行列式在多重积分的变量替换中有重要的作用,并给出了函数行列式的导数公式.雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式理论系统的建立.行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用,使行列式理论自身在19世纪得到了很大发展.整个19世纪都有行列式的新结果出现.除了一般行列式的大量定理之外,还有许多有关特殊行列式的其他定理相继产生.
在日常生活中有很多关于行列式的实际案例.通过这些例子大家能直观地体会到线性代数的用处,大家也会比较感兴趣又易于理解.为今后在专业课程中的应用作好铺垫.这里介绍了两个案例.
1.例如用对角线法则解二阶行列式与三阶行列式时可以让学生练习以下行列式:
式(1.16)称为爱情行列式.通过这个行列式的演练,同学们不仅能加深对角线法则的印象,还能体会到学习线性代数的趣味性.
2.n阶行列式是由n!项组成的.因此,这个定义式的实际计算复杂度是非常高的.从n阶行列式定义知,n阶行列式展开式的每一个乘积项都是来自不同行和不同列,即从行来看,每一行都有且仅有一个元素被取到;从列来看,每一列也都有且仅有一个元素被取到,这体现了均衡性的美.而对角形行列式的定义是对角线上元素不全为0,其他元素全为0,从形式上来看,对角形行列式就是关于主对角线对称,体现了对称美.计算高阶行列式常用方法的基本思想是化一般行列式为三角形行列式再计算,实质就是化繁为简的过程,体现了简洁之美.