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矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语.而实际上,矩阵这个课题在其诞生之前就已经有了很好的发展.这可以从对行列式的大量研究工作中表现出来.为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.
1850年,西尔维斯特指出,矩阵是“表示由m行n列元素组成的矩形排列”,由那个排列,“我们能够形成各种行列式组”.
英国数学家凯莱(A.Cayley,1821—1895)一般被公认为矩阵论的创立者,因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,并首先发表了关于这个题目的论文.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.
凯莱首先用字母来作为矩阵的简化记号.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等,给出了矩阵相乘、相加以及相减等运算法则,以及矩阵的转置、矩阵的逆等一系列基本概念.在论文中,他首次把矩阵方程与只含有一个变量的简单一元方程作类比,把线性方程组的解用系数矩阵的逆和右端项的乘积来表示,他还指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.
他在论文中写到:“我们很容易发现,同阶的矩阵和单个的量非常相似,它们可以被加、减或复合到一起.并且其加法和一般代数量的加法非常相似.考察它们之间的复合,发现矩阵的相乘顺序是不可交换的.尽管如此,构造一个(正的或负的,整数的或小数的)矩阵的乘幂还是可能的,因而就有矩阵的有理函数和整函数,或者更一般的任何矩阵代数函数”.
之后,凯莱继续寻找一般的代数运算和矩阵运算之间的关系,通过仔细观察这种相似性不成立的情况,凯莱给出了矩阵的逆的公式.他指出:“当行列式变成0的时候,逆矩阵就没有了,这种矩阵就是不定的.只有当两个矩阵中的一个或两个都是不定时,它们的乘积才可能是0”.
在凯莱把矩阵用单个符号表示以后,推出了著名的凯莱-哈密顿(W.R.Hamilton,1805—1865)定理.凯莱提出凯莱-哈密顿定理的动机就是想证明:“任何矩阵都会满足一个与它同阶的代数方程”.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根(特征值)以及有关矩阵的一些基本结果.
1855年,埃尔米特(C.Hermite,1822—1901)证明了其他数学家发现的一些矩阵的特征根的特殊性质,如现在称为埃尔米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831—1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.
在矩阵理论的发展史上,弗罗比纽斯(G.Frobenius,1849—1917)的贡献不可磨灭.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式提出了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当(Jordor,1838—1922)研究了矩阵化为标准形的问题.约当通过现今被称作约当标准形把矩阵进行了基本的分类.约当的分类不是基于矩阵的形式运算,而是特征值(也称谱)理论.在历史上,特征值概念是独立于矩阵理论自身,从不同领域研究和发展起来的.18世纪达朗贝尔(D.Alembert,1717—1783)对常系数的线性微分方程组解的研究最早引起对矩阵特征值问题的研究,而柯西是通过二次曲面、二次型的研究,证明了所有对角矩阵的特征向量都是实的,对称矩阵可以通过正交变换实现对角化.
1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶(Fourier,1768—1830)和庞加莱(H.Poincare,1854—1912)在其著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这是为了满足方程理论发展的需要而进行的研究.
经过两个多世纪的发展,矩阵由最初作为一种工具成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵及其理论现在已经广泛地应用于现代科技的各个领域.
矩阵是一种语言,它是表示复杂系统的有力工具.作为工具的矩阵具有辩证法方面的两面性,因为它既是静态的又是动态的,现实中我们可以从不同的角度去分析得到答案.静态的表示可以是学生考试的一次成绩、课程表、比赛成绩等,矩阵中的每一个元素都是现实世界的一个具体的关于值的刻画;动态的表示是线性空间中的线性变换的一个描述,一个点到另一个点的移动,一个能量级别到另外一个级别的跃迁,或者说一个规则到另外一个规则的变换.但无论静态或者动态,矩阵的重要作用在于它能把头绪纷繁的事务按照一定的规则清晰地展现出来,帮助我们厘清头绪,更加透彻地去看待这个世界;另外,矩阵能够帮助我们动态地在恰当的时刻去揭示出事物间的内在联系,并且通过矩阵之间的一系列的运算去揭示事物间的具体内在联系.
关于矩阵的社会属性,我们可以将其描述为一组规则的表现:规则表示为矩阵A,向量b表示为社会中的一个个体,b＇=Ab,即向量b经过规则A的洗礼蜕化称b＇,这种线性变换(矩阵乘法)的表示可以描述社会中一个个体在社会规则中成长的变化.
道可道也,非恒道也.名可名也,非恒名也.万物皆在变化中,我们的社会规则也是,意味着社会发展中的规则A是变化的,用矩阵乘法表示A＇=An…A2A1A,代表社会发展规则的矩阵A的与时俱进.和谐社会需要全社会共同进步,但总有一些弱势的群体难以适应规则和变化,这样我们国家就有了精准扶贫这一政策出台,结合线性代数理论这里体现了现实的两面性:(1)规则即矩阵A不变需要个体b(向量)通过自身的改变获得提升;(2)改变规则,针对向量b的特殊性,制定专门的规则B,在个体不变的情况下获提升.而现实中获得帮扶的向量b在不同的规则下所体现的能力是不同的,即矩阵A与矩阵B表示了不同的评判标准.政府的精准扶贫就在于一方面给予政策红利去针对性制定规则A的同时,鼓励向量b的主观能动性,从而获得全社会整体性能的提升.
总之,矩阵作为一个重要的数学工具是表述和处理大量的生活、生产与科研问题的有效手段,将会拥有更加广泛的应用.