5.5.2 正交变换化二次型为标准形
在取合同变换化简二次型时,若可逆矩阵C还是正交矩阵,即CT=C-1,则该合同变换成为正交相似变换.一般来说,合同变换不一定是正交相似变换,但是,正交相似变换一定是合同变换.
对于任意二次型:
根据定理5.3.4,可以求得一个正交矩阵P,作变换X=Py,可以把f化为标准形:
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其中,λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值;对角阵Λ=diag(λ1,λ2,…,λn).
须指出,由于实对称矩阵的特征值是实数,二次型经过正交变换后,得到的标准形在不考虑各平方项次序的意义下是唯一的.但是,所用的正交变换却不唯一.这是因为在构造正交变换矩阵时,选取属于各特征值的特征向量的取值方式并不唯一,只是要求了它们彼此满足线性无关性.
显然,方程f=1表示一个椭球面.
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