4.2.2　非齐次线性方程组解的结构

定理4.2.1　设η*是非齐次线性方程组Ax=b的某一个解(通常叫特解),ξ1,ξ2,…,ξn-r是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则

是非齐次线性方程组Ax=b的通解.

证明　对方程组Ax=b的任一解x,由性质4.2.1知,x-η*是对应的齐次线性方程组Ax=0的解,因为ξ1,ξ2,…,ξn-r是Ax=0的基础解系,故必存在常数k1,k2,…,kn-r,使

故线性方程组Ax=b的通解为式(4.9).

至此我们就得到了非齐次线性方程组的解的结构:

非齐次线性方程的通解=对应的齐次线性方程的通解+非齐次线性方程的一个特解