延展阅读
向量,最初被应用于物理学,很多物理量如力、速度、位移、电场强度以及磁感应强度等都是向量.大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle)就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.
我们一个人的成长轨迹不就是由很多个向量首尾相接组成的向量组吗?人生不同阶段会有不同的目标——向量的方向,为了实现目标我们会奋力前行——向量的大小,最终实现我们的终极目标——人生理想,在实现理想的过程中“方向”一定要正确,否则费再大的力气也只会是事倍功半,或是南辕北辙,甚至步入歧途,因此每位同学应该建立正确的人生目标.同学们一定要明确自己的人生理想——为中华之崛起而读书,为建设祖国而努力学习,建立正确的人生目标,树立积极的价值观.
从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系.
向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi(a,b为有理数,且不同时等于0),并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学中.
但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期,英国数学家哈密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分),以代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后,电磁理论的发现者,英国的物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析.
三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的.他们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何四元数.他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积,并把向量代数推广到变向量的向量微积分.从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成了一套优良的数学工具.
“简单性”是线性代数美的突出体现,这种“美”无论在向量组最大无关组的概念还是在向量组与向量空间的内容体系上皆有所体现.本章中最常见的几个概念如向量、最大无关组、向量组的秩、向量空间等定义都十分简单.然而这些简单的定义却涵盖了线性代数中深刻而繁杂的内容,进而演绎出了向量组与向量空间的基本理论.比如用基(即最大无关组)可以等价地代替所生成的向量空间(即所在向量组),正是抓住了基就是向量空间的本质的特征,用简单的方式表示复杂问题.这一类方法在哲学上就是把握事物的主要矛盾和主要方面,同时也兼顾事物的次要矛盾和次要方面.这一道理和现象也贯穿于我们的学习与工作中,由于我们的精力和时间总是有限的,因此我们应当尽可能地提高效率.为了实现这一目标,这就需要我们在进行工作或者学习的前期阶段,认真对学习及工作内容进行分析,从而找出学习或工作的中心与实质.如果中心把握不准,则极有可能影响甚至改变事物的性质和发展方向.
哈密顿(Hamilton)首先引进向量一词,并开创了向量理论和向量计算.格拉斯曼(Grassmann)最早提出多维欧几里得空间的系统理论,1844—1847年,他与柯西(Cauchy)分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的、抽象的n维空间.特普利茨(Toeplitz)将线性代数的主要定理推广到任意域上的一般的线性空间中.
2013年12月14日,中国的嫦娥三号探测器在月球表面软着陆,创造多项世界第一,其在月工作时间为全球最长,中国也因此成为世界上第三个有能力独立自主实施月球软着陆的国家.空间飞行器是一个不稳定的中机体,在大气层时需要不断地使用计算机进行监控.嫦娥三号安装有大推力主减速发动机1台,位于正下方;小型姿态调整发动机16台,分布在相对前、后、左、右四个侧面,用以控制飞行器的俯仰角以及各种姿态调整.为了跟踪和控制嫦娥三号安全着陆,需要系统不断地向所有推进器发送命令.从数学的角度看,工程学中控制系统输入和输出的信号都是函数.这些函数的加法和数乘是控制系统的基本运算.系统工程学的数学基础依赖于函数的向量空间,因此把n维空间中向量的理论推广到包括这些函数的范围,这对于控制系统的研究和设计是不可或缺的.嫦娥三号探测器的控制系统就是使用了各类传感器采集的离散数字信号,最终实现自主导航控制的.嫦娥三号探测器在月球表面软着陆使我们深刻体会到数学的魅力,深刻认识到向量空间不仅来源于实践而且又应用于实践;同时,也见证了我国几代航天人的努力付出,这让每一位中国人倍感自豪的同时,也充分向世人展示了伟大祖国的强盛,同学们应该树立远大理想,努力读书,持之以恒,脚踏实地,未来才能成为对社会有用的人,报效祖国.