3.7.1　向量空间的定义

定义3.7.1　设V⊆Rn,若α∈V,β∈V,则必有α+β∈V,称V对加法运算封闭.若α∈V,λ∈R,若有λα∈V,称V对于数乘运算封闭.

定义3.7.2　设V⊆Rn,V≠∅,若V对向量的加法及数乘运算封闭,则称V是向量空间.

例3.7.1　试证明3维向量的全体R3,就是一个向量空间.

证明　因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量,数λ乘3维向量仍然是3维向量,所以3维向量的全体R3就是一个向量空间.用有向线段表示3维向量,形象地把3维向量的全体R3看作以坐标原点为起点的有向线段的全体.由于以原点为起点的有向线段与其终点一一对应,因此R3也可看作取定坐标原点的点空间.