5.5.1 正交变换化二次型为标准形的意义
在解析几何中,二次曲线ax2+bxy+cy2=d只有经过“合适的变换”才能化为容易研究的形式,即标准形.根据定理5.4.1,在化简二次型时,“合适的变换”应取可逆线性变换.
例如:在xOy平面上的二次曲线x2+xy+y2=1,取变换:
则可以把曲线化为标准方程:
这里的变换(5.12)是一个正交变换.其几何意义是坐标轴旋转后,曲线在新的坐标下成为一个正椭圆.
显然,曲线x2+xy+y2=16也是椭圆曲线(见图5.2)
图5.2
在正交变换下,向量的模长、两向量的夹角都不变,从而曲线的形状也不变.由此可知,二次型化简具有重要意义.
