5.1.4　特征值和特征向量的性质

5.1.4　特征值和特征向量的性质

定理5.1.1　设λ是方阵A的特征值,则λ2是A2的特征值;若A可逆,则λ-1是A-1的特征值.

定理5.1.2　设λ1,λ2是方阵A的相异的特征值,p1,p2是A的分别对应于λ1及λ2的特征向量,则p1,p2线性无关,且p1+p2不是A的特征向量.

证明　根据已知条件,p1,p2是非零向量,满足Ap1=λ1p1和Ap2=λ2p2.

假设存在数k1和k2,使

成立,在式(5.5)的两端左乘矩阵A,由特征值的定义,有

将式(5.5)的两端乘以数λ2,得到的结果k1λ2p1+k2λ2p2=0,减去式(5.6),有k1(λ2-λ1)p1=0,因为p1是非零向量,所以k1(λ2-λ1)=0.由λ1≠λ2得k1=0,代入式(5.5),可得k2=0.因此,p1,p2是线性无关的.

用反证法证明p1+p2不是A的特征向量.

假设p1+p2是A的特征向量,则存在数λ,使A(p1+p2)=λ(p1+p2),由Ap1=λp1和Ap2=λp2,有λ1p1+λ2p2=λ(p1+p2),即

根据p1,p2线性无关,得λ1-λ=0,λ2-λ=0,但是λ1≠λ2,矛盾.因此,p1+p2不是A的特征向量.

定理5.1.3　设λ1,λ2,…,λn是方阵A的n个彼此相异的特征值,p1,p2,…,pn是分别属于它们的特征向量,则p1,p2,…,pn线性无关.

定理5.1.3可用数学归纳法证明.