复变函数及其应用_数学物理化学

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前言

本书是针对非数学类专业大学生，按照教育部最新审订的关于复变函数课程的基本要求，结合我国新世纪高等教育迅速的发展、高等人才培养对数学教育要求的不断提高的现状，编者...

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第1章　复数

“高等数学”(微积分)研究的对象是实变量函数,即定义在实数域上,取值为实数的函数.“复变函数”研究的对象是定义在复数域上,取值为复数的函数,特别是一类具有解析性...

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1.1　复数及其表示法

...

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1.1.1　复数的概念

在中学阶段,我们已经学习过复数的概念,我们称形如z =x+iy的表达式为复数,其中x和y为任意实数,为虚数单位.实数x和y分别称为复数z的实部和虚部,记为特...

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1.1.2　复数的表示

我们通常称z = x+iy为复数z的代数形式.除此之外,复数z还有多种表示形式,下面介绍复数的几种表示方法. 由于复数z =x+iy由一个有序实数对(x,y)唯...

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1.2　复数的运算

...

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1.2.1　复数的加法和减法

和实数一样,复数也有加、减、乘、除四则运算.设z1 =x1+iy1和z2 =x2+iy2是任意给定的两个复数,定义复数的加法和减法如下: z1+z2 =(x1+...

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1.2.2　复数的乘法和除法

两个复数z1 =x1+iy1和z2 =x2+iy2的乘法定义如下： z1z2 =(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2...

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1.2.3　复数的n次幂与n次方根

设z1 =r1eiθ1,z2 =r2eiθ2,··· ,zn =rneiθn是n个非零复数,用数学归纳法可以得到这n个复数的乘积为特别地,当这n个复数相同时...

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1.2.4　复数的运算性质

以上我们介绍了复数的共轭复数、复数的模以及四则运算,下面我们列出这些运算所具有的性质,这些性质很容易由定义、几何意义及运算法则得出. (1) 设z =x+iy,...

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1.3　复平面上的曲线和区域

由第一节的介绍我们知道,复平面上的点集与实直角坐标系平面上的点集存在一一对应关系。...

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1.3.1　复平面上的曲线方程

实平面上曲线有直角坐标方程和参数方程两种形式，复平面上的曲线也有直角坐标方程和参数方程两种复数形式. (1)直角坐标方程设z =x+iy,若平面曲线C的直角坐...

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1.3.2　简单曲线与光滑曲线

设复平面上的曲线C由参数方程z = x(t) + iy(t)(α ≤t ≤β)给出,x(t),y(t) 是区间[α,β]上的两个实变量连续函数,则称此曲线C为复...

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1.3.3　平面点集

上面提到的复平面上的直线、圆周等曲线都是复平面上的点集,以下介绍平面点集的几个基本概念. (1)邻域定义3 设z0是复平面上的一点,δ是任意的正数.我们称以z...

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1.4　复球面与扩充复平面

在第一节中我们知道,复数与平面内的点或向量建立了一一对应关系,所以我们对复数、平面内的点和向量不加区别.除此之外,复数也可与球面上的点一一对应,并用球面上的点来...

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1.5　小结

本章学习了复数的概念、表示及复数的运算,这些内容是全书的基础,为今后研究的问题提供了前提条件.我们所研究的问题均是在复数范围内,所以需要了解并掌握复数的运算和性...

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习题一

1.设D ={z||z+2i|＞1},则D为_____. (A)有界多连通区域(B) 无界多连通区域 (C)有界单连通区域(D) 无界单连通区域 2.Im(iz...

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第2章　解析函数

解析函数是复变函数的主要研究对象,它在理论和实际问题中有着广泛的应用.本章先给出复变函数及其导数的定义和求导法则,然后引入解析函数的概念以及判别方法,最后介绍一...

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2.1　复变函数

...

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2.1.1　复变函数的概念

复变函数的定义在形式上与一元实函数一样,只是将自变量和因变量都推广到了复数域. 定义1 设D为复平面上的非空集合[1],若有一个确定的法则存在,按照这一法则,对...

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2.1.2　复变函数的极限与连续性

复变函数和实变函数类似,同样可以讨论函数的极限和连续性,且形式基本上与实变函数一致.现在介绍复变函数的极限概念. 定义3 设函数w = f(z)在点z0的去心邻...

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2.2　解析函数

在复变函数中,主要的研究对象是解析函数,它有许多重要性质,且在理论和实际中有着广泛的应用.本节先介绍复变函数导数的概念及求导法则,然后重点介绍解析函数的概念和运...

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2.2.1　复变函数的导数

复变函数导数的定义在形式上与一元实变函数一致. 定义1 设函数w = f(z)在点z0的某个邻域内有定义,且z0+△z是该邻域中的点,如果极限存在,我们称f...

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2.2.2　解析函数的概念

解析函数是指在某个区域内可导的函数,它在理论和实际问题中应用广泛,具体定义如下：定义2 若函数f(z)在点z0的某个邻域内(包含点z0)处处可导,我们称f(z...

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2.3　柯西-黎曼条件

从上节可以看出,并不是每一个函数在定义域或给定的区域内都是解析的,我们可以根据解析的定义来判断它是否解析,但这对于大多数函数都是相当困难的.本节从函数的实部和虚...

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2.4　初等函数

在高等数学中,我们已学习过实变量的初等函数及其性质,本节将讨论复变量的初等函数的解析性,它是实变初等函数在复数域内的推广....

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2.4.1　指数函数

从上节例2可知,f(z)=ex(cos y+i sin y)在整个复平面上解析,且f′(z)=f(z).容易验证f(z1+z2) =f(z1)+f(z2),据此...

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2.4.2　对数函数

定义2 我们称复指数函数z =ew(z 0)的反函数为对数函数,记作 w =Lnz. 为导出其计算公式,设w =u+iv,θ =arg z,z =reiθ,则由...

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2.4.3　幂函数

定义3 设α是任意一个复数,定义幂函数为 w =zα =eαLnz(z 0). 在α为正实数时,对z =0的情况进行规定：zα =0.幂函数是指数函数与对数函数...

《复变函数及其应用》简介

前言

目录

第1章　复数

1.1　复数及其表示法

1.1.1　复数的概念

1.1.2　复数的表示

1.2　复数的运算

1.2.1　复数的加法和减法

1.2.2　复数的乘法和除法

1.2.3　复数的n次幂与n次方根

1.2.4　复数的运算性质

1.3　复平面上的曲线和区域

1.3.1　复平面上的曲线方程

1.3.2　简单曲线与光滑曲线

1.3.3　平面点集

1.4　复球面与扩充复平面

1.5　小结

习题一

第2章　解析函数

2.1　复变函数

2.1.1　复变函数的概念

2.1.2　复变函数的极限与连续性

2.2　解析函数

2.2.1　复变函数的导数

2.2.2　解析函数的概念

2.3　柯西-黎曼条件

2.4　初等函数

2.4.1　指数函数

2.4.2　对数函数

2.4.3　幂函数

《复变函数及其应用》简介

前言

目录

第1章 复数

1.1 复数及其表示法

1.1.1 复数的概念

1.1.2 复数的表示

1.2 复数的运算

1.2.1 复数的加法和减法

1.2.2 复数的乘法和除法

1.2.3 复数的n次幂与n次方根

1.2.4 复数的运算性质

1.3 复平面上的曲线和区域

1.3.1 复平面上的曲线方程

1.3.2 简单曲线与光滑曲线

1.3.3 平面点集

1.4 复球面与扩充复平面

1.5 小结

习题一

第2章 解析函数

2.1 复变函数

2.1.1 复变函数的概念

2.1.2 复变函数的极限与连续性

2.2 解析函数

2.2.1 复变函数的导数

2.2.2 解析函数的概念

2.3 柯西-黎曼条件

2.4 初等函数

2.4.1 指数函数

2.4.2 对数函数

2.4.3 幂函数

第1章　复数

1.1　复数及其表示法

1.1.1　复数的概念

1.1.2　复数的表示

1.2　复数的运算

1.2.1　复数的加法和减法

1.2.2　复数的乘法和除法

1.2.3　复数的n次幂与n次方根

1.2.4　复数的运算性质

1.3　复平面上的曲线和区域

1.3.1　复平面上的曲线方程

1.3.2　简单曲线与光滑曲线

1.3.3　平面点集

1.4　复球面与扩充复平面

1.5　小结

第2章　解析函数

2.1　复变函数

2.1.1　复变函数的概念

2.1.2　复变函数的极限与连续性

2.2　解析函数

2.2.1　复变函数的导数

2.2.2　解析函数的概念

2.3　柯西-黎曼条件

2.4　初等函数

2.4.1　指数函数

2.4.2　对数函数

2.4.3　幂函数