5.1.3　用函数的零点判别极点的类型

5.1.3　用函数的零点判别极点的类型

若函数f(z)在点z0解析且f(z0)=0,则称z0为函数f(z)的零点.

设函数f(z)在其零点z0的邻域|z-z0|＜δ内的泰勒级数为

则c0 =0,设m是使cm 0的最小正整数,则

定义2 若函数f(z)在z0的邻域内的泰勒级数为

其中cm 0,m为正整数,则称z0为f(z)的m级零点.

易见,z0为f(z)的m级零点的充分必要条件为存在解析函数φ(z),且φ(z0)0,函数f(z) 在z0 的某邻域内能表示成

例如,z =1为f(z)=(z-1)2的2级零点.

另外,我们还可以通过f(z)在点z0的导数的值给出z0为f(z)的m级零点的充分必要条件.

定理1 z0为函数f(z)的m级零点的充分必要条件为f(z)在z0解析,f(z0)=f′(z0)=···=f(m-1)(z0)=0且f(m)(z0)0.

证明 若z0为f(z)的m级零点,则f(z)在z0的邻域内的泰勒级数可展成式(5.1.3)的形式,对幂级数逐项求导,可得

反之,若f(z)在z0解析,f(z0)=f′(z0)=···=f(m-1)(z0)=0且f(m)(z0)0,设f(z) 在z0 的邻域内的泰勒级数为

由系数公式知cn == 0(n = 0,1,2,··· ,m-1),而cm = 0,即z0 为f(z) 的m 级零点.

下面给出用函数的零点判断极点的方法:

定理2 若函数f(z)和g(z)在点z0 解析,则有

(1) 当z0分别为f(z)和g(z)的m,n级零点时,z0为f(z)g(z) 的m+n级零点,若m ＜n,则有z0为的n-m级极点.

(2) 当z0为g(z)的n级零点,但f(z0)0时,z0为 的n 级极点.

证明(1)由于z0分别为f(z)和g(z)的m,n级零点,故存在函数φ(z)和ψ(z)在点z0解析,且φ(z0)0,ψ(z0)0,使

从而有

由式(5.1.4)和式(5.1.2)可知结论(1) 成立.

(2)设

则

由于在点z0解析,且 故z0为的n级极点.

在定理2的(2)中令f(z)=1可得

推论 若z0为g(z)的n级零点,则z0为的n 级极点,反之也成立.

例1 下列函数有些什么奇点? 如果是极点,指出它的级.

(1) f(z)=

(2) f(z)=

(3) f(z)=

解 (1)f(z)=的奇点是分母的零点.

由于(sin z)′ = cos z,而cos z在zk解析且cos zk 0(k = 0,±1,±2,···),由定理2中的(2)知zk(k =0,±1,±2,···) 均为f(z)的简单极点.

(2)易见z =1,z =-1是f(z)的奇点.由于

函数在z =1解析且因此z =1 是f(z) 的三级极点.

同理,z =-1是f(z)的四级极点.

(3)z =0是f(z)的极点,由于

其中φ(z)在z =0解析且φ(0)0,z =0为f(z) 的三级极点.