5.2.2　留数定理

5.2.2　留数定理

使用下面的定理,我们可以利用留数计算复积分.

定理1(留数定理) 若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析,在C 的内部除有限个孤立奇点z1,z2,··· ,zn外解析,则有

证明 在C的内部围绕每个奇点zk作互不包含的正向小圆周Ck,k =1,2,··· ,n(图5.1),根据复合闭路定理有

由留数的定义

从而有

利用留数定理,求沿封闭曲线C的积分,就转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数.

例4 计算积分

解 z =0为被积函数f(z)=的一级极点,z =1 为f(z) 的三级极点,例1(1)中已算出

z =0及z =1均在|z|=3的圆周内,由留数定理

例5 计算积分

解 f(z) =在|z| = 3的内部有三个一级极点z = 0，z = 2i，z =-2i.

故由留数定理

对有些复变函数的积分用下面定理计算更简便.

定理2 若函数f(z)在环域R ＜|z| ＜∞内解析(在圆|z| ＜R内可能有无穷多个奇点),则有

其中C是包含圆周|z|=R的任一条正向简单闭曲线.

证明 设f(z)在环域R ＜|z|＜+∞内的洛朗级数为

则有

做变换z =则函数在点η = 0的去心邻域0 ＜|η| ＜内解析,且在该邻域内洛朗级数为

两边同乘以得

由于

因此

例6 计算下列积分.

解 (1)被积函数的五个奇点都在|z|=3的内部.若使用定理1,要计算五个奇点的留数,比较麻烦,故使用定理2.

(2)f(z)在环域2 ＜|z| ＜+∞内解析,但在|z| ＜2内有无数个奇点,故使

用定理2.