2.5　小结

解析函数是复变函数研究的主要对象,本章主要介绍了复变函数的导数、解析函数等概念,判别函数解析的充要条件以及定义在复数范围内的初等函数的定义和性质.

本章的重点内容如下：

(1)复变函数的极限概念与一元实变函数极限的定义在形式上是相似的,但两者有本质的差别.当讨论一元实函数的极限时,x →x0 是指在x0的邻域内x可以从x0 的左右两个方向趋于x0,自然有左极限和右极限的概念; 而对复变函数的极限 趋于z0的方式是任意的,这使得两种极限有很大的差别.

(2)理解与掌握复变函数的可导性与解析性之间的关系：复变函数在一个区域内解析与在一个区域内可导是等价的,但是在一点处解析比它在一点处可导的要求要高得多,因此解析函数有许多一般的一元实函数所没有的性质,例如,解析函数的各阶导数仍为解析函数等.

(3)判别函数可导与解析的方法一般有两个：一是利用可导与解析的定义; 二是利用可导与解析的充要条件.第三节中的C-R条件是判别函数可微与解析的主要条件.

(4)要清楚地认识本章介绍的几个初等函数,它们推广到复变函数后,就

与实变函数有了本质上的不同.在学习过程中应熟练掌握其定义形式和性

质.特别要注意复变初等函数与对应实初等函数的差异,理解多值函数的单值解析区域.