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前言
第1章 复数
1.1 复数及其表示法
1.1.1 复数的概念
1.1.2 复数的表示
1.2 复数的运算
1.2.1 复数的加法和减法
1.2.2 复数的乘法和除法
1.2.3 复数的n次幂与n次方根
1.2.4 复数的运算性质
1.3 复平面上的曲线和区域
1.3.1 复平面上的曲线方程
1.3.2 简单曲线与光滑曲线
1.3.3 平面点集
1.4 复球面与扩充复平面
1.5 小结
习题一
第2章 解析函数
2.1 复变函数
2.1.1 复变函数的概念
2.1.2 复变函数的极限与连续性
2.2 解析函数
2.2.1 复变函数的导数
2.2.2 解析函数的概念
2.3 柯西-黎曼条件
2.4 初等函数
2.4.1 指数函数
2.4.2 对数函数
2.4.3 幂函数
2.4.4 三角函数与双曲函数
2.4.5 反三角函数和反双曲函数
2.5 小结
习题二
第3章 复变函数的积分
3.1 复变函数积分的概念
3.1.1 复积分的定义
3.1.2 复积分存在的条件及计算公式
3.1.3 复积分的基本性质
3.2 柯西积分定理
3.2.1 柯西积分定理
3.2.2 柯西-古萨基本定理
3.2.3 复合闭路定理
3.3 原函数与不定积分
3.4 柯西积分公式和高阶导数公式
3.4.1 柯西积分公式
3.4.2 高阶导数公式
3.4.3 柯西不等式
3.5 解析函数与调和函数的关系
3.6 小结
习题三
第4章 复级数
4.1 复数项级数
4.1.1 复数列的收敛性及其判别法
4.1.2 复数项级数的收敛性及其判别法
4.2 幂级数
4.2.1 幂级数的概念
4.2.2 收敛圆和收敛半径
4.2.3 收敛半径的求法
4.2.4 幂级数的运算性质
4.3 泰勒级数
4.3.1 泰勒级数展开定理
4.3.2 初等函数的泰勒级数展开式
4.4 洛朗级数
4.4.1 洛朗级数展开定理
4.4.2 用洛朗级数展开式计算积分
4.5 小结
习题四
第5章 留数及其应用
5.1 孤立奇点
5.1.1 孤立奇点的定义
5.1.2 孤立奇点的分类
5.1.3 用函数的零点判别极点的类型
5.1.4 函数在无穷远点的性态
5.2 留数和留数定理
5.2.1 留数的定义和计算
5.2.2 留数定理
5.2.3 洛必达法则
5.2.4 函数在无穷远点的留数
5.3 留数在定积分计算中的应用
5.3.1 形如
的积分
5.3.2 形如
的积分
5.3.3 形如
的积分
5.4 辐角原理及其应用
5.4.1 对数留数
5.4.2 辐角原理
5.4.3 路西定理
5.5 小结
习题五
第6章 保角映射
6.1 保角映射的概念
6.1.1 曲线的切线方向和两条曲线的夹角
6.1.2 解析函数导数的几何意义
6.1.3 保角映射的概念
6.2 分式线性映射
6.2.1 保角性
6.2.2 保圆性
6.2.3 保交比性
6.2.4 保对称性
6.2.5 保侧性
6.2.6 三种特殊的分式线性映射
6.3 几个初等函教所构成的映射
6.3.1 幂函数与根式函数
6.3.2 指数函数与对数函数
6.4 保角映射的几个一般性定理及其应用
6.4.1 保角映射的几个一般性定理
6.4.2 施瓦茨-克里斯托费尔映射
6.4.3 拉普拉斯方程的边值问题
6.5 小结
习题六
第7章 傅里叶变换
7.1 傅里叶变换
7.1.1 傅里叶(Fourier)积分公式
7.1.2 傅里叶变换
7.2 单位脉冲函数及其傅氏变换
7.2.1 单位脉冲函数
7.2.2 δ函数的筛选性质
7.2.3 广义傅氏变换
7.3 傅里叶变换的基本性质
7.4 卷积与卷积定理
7.4.1 卷积的定义
7.4.2 卷积的性质
7.4.3 卷积定理
7.5 小结
习题七
第8章 拉普拉斯变换
8.1 拉普拉斯变换的概念
8.1.1 拉普拉斯变换的定义
8.1.2 拉氏变换存在定理
8.1.3 一些常用函数的拉氏变换
8.1.4 δ-函数的拉氏变换
8.2 拉氏变换的性质
8.3 拉氏逆变换
8.3.1 拉氏反演积分
8.3.2 利用留数计算反演积分
8.4 卷积与卷积定理
8.4.1 卷积的概念
8.4.2 卷积的性质
8.4.3 卷积定理
8.5 拉氏变换的应用
8.5.1 解常系数线性常微分方程
8.5.2 用拉氏变换解线性微分方程组
8.5.3 用拉氏变换解某些积分方程
8.5.4 用拉氏变换解某些微分积分方程
8.6 小结
习题八
第9章 希尔伯特变换
9.1 希尔伯特变换的定义
9.1.1 卷积积分
9.1.2 物理意义
9.1.3 解析函数的虚部
9.2 希尔伯特变换的性质
习题九
参考答案