1.3.1 复平面上的曲线方程
实平面上曲线有直角坐标方程和参数方程两种形式，复平面上的曲线也有直角坐标方程和参数方程两种复数形式.
(1)直角坐标方程
设z =x+iy,若平面曲线C的直角坐标方程为
F(x,y)=0,
由
可得平面曲线C在复平面上复数形式的方程
例1 把直线方程3x+2y =1化为复数形式.
解 将
代入方程,得
为所给直线方程的复数形式.
(2)参数方程
令z =x+iy,若平面曲线C的参数方程为
x=x(t),y =y(t)(α ≤t ≤β),
则曲线C的参数方程的复数形式为
z(t)=x(t)+iy(t)或z =z(t)(α ≤t ≤β).
例如,经过z1,z2两点的直线的参数方程为
z =z1+t(z2-z1)(-∞＜t ＜+∞).
由此可知,三点z1,z2,z3共线的充要条件为
或者
又如以点(x0,y0)为中心,R为半径的圆的参数方程
x=x0+R cos t,y =y0+R sin t(0 ≤t ≤2π).
所以,该圆的参数方程复数形式为
或
z =z0+R(cos t+i sin t)(0 ≤t ≤2π),其中z0 =x0+iy0.
或
z =z0+Reit(0 ≤t ≤2π).
考虑到|z-z0|表示的是z到z0距离,所以圆的方程也可以写成|z-z0| =R.由此可以看出,有时用复数、复数运算或复数模的几何意义来确定平面曲线C 的方程,或给定一个方程讨论它表示的是什么样的曲线,可能会方便一些.
例2 求下列方程所表示的曲线.
(1)|z+i|=2;(2) |z-z1|+|z-z2|=2a,其中|z1-z2|＜2a;
(3)Im(i+
)=4;(4) z =(1+i)t+z0 (t ＞0).
解(1)将z =x+iy代入方程,可得|x+(y+1)i|=2,即x2+(y+1)2 =4.从几何上不难看出,所求曲线是以-i为中心,2为半径的圆.
(2)由几何意义,曲线是到点z1和点z2距离的和等于2a的点的轨迹,即以z1和z2为焦点,过z1和z2的轴长为2a的椭圆.
(3)设z =x+iy,则i+
=x+(1-y)i,所以Im(i+
)=1-y.从而立
即可得所求曲线的方程为y =-3,这是一条平行于x轴的直线.
(4)将z = x+iy,z0 = x0 +iy0代入方程得x = x0 +t，y = y0 +t.由于t ＞0,所以点z还满足arg(z-z0)=arg[(1+i)t]= 
它表示从点z0出发倾角为arg(1+i)=
的射线（不包含点z0）.