4.2.3　收敛半径的求法

4.2.3　收敛半径的求法

由阿贝尔定理可知,收敛半径一定存在,当R=∞时,级数在整个复平面收敛,当R=0 时,级数只在z =0收敛.

关于收敛半径的求法,我们有下面的结论:

定理2(比值法) 设幂级数为则收敛半径

证明 由于

故知当|z|＜ 收敛.从而级数在圆|z|=内收敛且绝对收敛.

再证当|z| ＞时,级数发散.假设在圆|z| =外有一点z0,使级数收敛.在圆外再取一点z1,使|z1|＜|z0|,那么根据阿贝尔定理,级数必收敛.然而 所以

这跟收敛相矛盾,即在圆周外有一点z0 使级数收敛的假定不能成立.因而在圆发散.因此收敛半径

定理3(根值法) 若则收敛半径

证明从略.

注意,定理中的极限是假定存在的而且不为零.若λ = 0,则对任何z,级数 收敛,从而级数在复平面内处处收敛,即R = ∞.若λ = +∞,则对于复平面内除z = 0以外的一切z,级数 都不收敛,因此也不能收敛,即R = 0.否则,根据阿贝尔定理将有z 0 使得级数收敛.

例2 求下列幂级数的收敛半径：

解 (1)因为

或

所以收敛半径R=1.也就是原级数在圆|z|=1内收敛,在圆外发散.

(2)由于

得R = 1.在上例(2)中,由于在收敛圆|z-i| = 1上,当z = i-1 时,原级数成为 它是交错级数,根据莱布尼茨准则,级数收敛; 当z = i+1时,原级数成为它是调和级数,所以发散.这说明,在收敛圆周上可能既有级数的收敛点,也有级数的发散点.

例3 求下列幂级数的收敛圆及其收敛半径.

解 (1)该幂级数的奇次幂系数为零,不能直接使用定理2 或3.

令ζ =(3-i)z2得

由例1可看出,其收敛域为|ζ| = |(3-i)z2| ＜1,即圆域其收敛圆 收敛半径它在其收敛圆周上处处发散.

(2)令(z-i)2 =ζ,则得

由定理2可求出上式右端的幂级数收敛半径R = 1,且在圆|ζ| = 1 的内部处处绝对收敛,在圆的外部发散.于是可设

上式两端乘以(z-i),则有

由|ζ| = |(z -i)2| = 1,得|z -i| = 1,因此级数的收敛半径R=1,收敛圆为|z-1|=1.由于在收敛圆上,其绝对值级数为收敛级数,所以该幂级数在圆周|z-i|=1 处处绝对收敛.