条件概率的定义及性质
在实际问题中，除了要考虑事件A的概率P（A）外，常常还需要考虑在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率.由于增加了新的条件“事件B已发生”，所以这时A发生的概率与P（A）不一定相同.为了区别，我们把它称为在“事件B已发生”的条件下，事件A发生的条件概率，记为P（A|B）.
例17 将一枚均匀的硬币掷两次，观察正反面出现情况.设A为事件“正、反面各出现一次”，B为事件“至少掷出一次正面”，求P（A）和P（A|B）.
解 这是一个古典概型，样本空间为Ω=｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝，A=｛（正，反），（反，正）｝，故
下面求P（A|B）.
如果知道事件B已经发生，那么试验所有可能的结果组成的集合就是B=｛（正，正），（正，反），（反，正）｝，B中含有3个样本点，其中有2个样本点属于A.于是，在“事件B已发生”的条件下，事件A发生的条件概率为
所以（1.13）式可以写成
对于古典概型，（1.14）式是有普遍意义的，事实上，设样本空间Ω含有n个样本点，A，B是两个事件，B和AB所含的样本点个数分别为m和k.在事件B已经发生的条件下，试验一切可能的结果为B中的样本点，这时A发生当且仅当AB中的某一样本点发生，故
对于几何概率和统计概率也有相同的结果，因此，我们将关系式（1.14）作为条件概率的一般定义.
定义5 设A，B是两个事件，且P（B）＞0，称
为在“事件B已发生”的条件下，事件A发生的条件概率.
定理2 设P（B）＞0，则条件概率P（·|B）满足概率的公理化定义中的三个条件，即
（i）非负性，对任一事件A，有
（ii）规范性：
（iii）可列可加性：对可列无限多个互不相容的事件A1，A2，…，An，…有
证明略.
既然条件概率满足概率定义的三个条件，故定理1及其推论中所得到的概率的性质，全适用于条件概率P（·|B）.例如，对于任意事件A1，A2有
例18 袋中有2m-1个白球和2m个红球，随机地从中一次取出m个球，发现都是同一种颜色的，求这颜色是红色的概率和是白色的概率.
解 设A1为事件“取出的m个球全是红色的”，A2为事件“取出的m个球全是白色的”，B为事件“取出的m个球是同一颜色”，则
由条件概率的定义并注意到A1B=A1，可知在取得的m个球是同一颜色的条件下球全是红色的条件概率为
因为在B已发生的条件下，A1与A2互为对立事件，故在取得的m个球是同一颜色的条件下，球全是白色的条件概率为
