数学期望的性质
数学期望在理论和应用上都极为重要，下面给出它的几个常用性质，若能熟练地掌握这些性质，在某些情况下，可大大降低计算的难度和复杂性.
性质1 若C为常数，则有E（C）=C.
证 因为常量C作为随机变量而言，是一个离散型随机变量，它只有一个可能值C，概率为1，根据（4.1）式，得
性质2 若X是随机变量，a，b是常数，则
证 设X为连续型随机变量，概率密度函数为f（x），则根据（4.4）式，得
性质3 若X，Y是任意两个随机变量，则有
证 设（X，Y）为连续型随机变量，其联合概率密度为f（x，y），则根据（4.6）式，得
性质4 若随机变量X和Y相互独立，则
证 设（X，Y）为连续型随机变量，其联合概率密度为f（x，y），边缘概率密度为fX（x），fY（y），根据X和Y相互独立性，由（4.6）式，得
性质2，3，4可推广到有限个随机变量的场合（这里的证明仅对连续型给出，离散型的证明与之类似，读者可自行证明）.
性质5 若X≥0，则E（X）≥0；若X1≥X2，则
证 当X≥0时，由（4.1）式可知E（X）≥0.
若X1≥X2，则X1-X2≥0，从而E（X1-X2）≥0，即
故
性质6 |E（X）|≤E（|X|）.
证 因为-|X|≤X≤|X|，由性质5知
从而
性质7 柯西-许瓦兹不等式：若E（X2），E（Y2）均存在，则E（XY）存在，且
证 考虑实变量t的二次函数
根据性质5对一切t，均有g（t）≥0，由一元二次方程有实根的判别条件，有
即
例8 设随机变量X ～B（n，p），求E（X）.
解 前面我们已经由（4.1）式求得E（X）=np，以下我们利用性质3来计算E（X）.
引入随机变量
则X1，X2，…，Xn相互独立，且X=X1+X2+… +Xn服从二项分布.
由于Xi服从二点分布，则
根据数学期望性质3得
例9 袋中有n张卡片，号码分别为1，2，…，n，从中有放回地抽出k张卡片，求这k张卡片的号码之和X的数学期望.，
故
注：在上面两例中，我们都是把一个比较复杂的随机变量X拆成n个比较简单的随机变量Xi（如例8Xi服从二点分布，例9Xi虽不服从二点分布，但其概率分布易求）之和，然后根据数学期望的性质，把这些简单的随机变量Xi的数学期望相加即可得到X的数学期望，这种处理方法巧妙方便，具有一定的普遍意义，不失为一种好方法.