贝叶斯（Bayes）公式
假设在某随机试验中，事件A的发生受到许多因素的影响，即存在一事件组B1，B2，…，Bn，其中B1，B2，…，Bn互不相容，使得当且仅当B1，B2，…，Bn中的任一事件发生时，A才可能发生.如果在试验之前，根据某些理由可确定Bi的概率P（Bi）（试验前的假设概率）及P（A|Bi）（i=1，2，…，n）.现在进行一次试验，而事件A的确发生了，因此需对事件Bi的概率给予重新估计，即要计算事件Bi在事件A已发生的条件下的条件概率P（Bi|A）（试验后的假设概率）.
其中k=1，2，…，n.
（1.19）式称为贝叶斯（Bayes）公式.
证 从条件概率的定义可得
根据乘法定理和全概率公式分别得到
故
在实际问题中，贝叶斯公式适用于试验之后，求解导致某事件发生的各种“原因”的概率.
例22 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2.现从该射击小组任选一人，若此人已通过选拔进入比赛，问此人是一级射手的概率等于多少？
解 设A表示事件“任选的一名射手能通过选拔进入比赛”，Bi表示事件“任选的一名射手是i级射手”，i=1，2，3，4.显然B1，B2，B3，B4是样本空间的一个划分.由题设条件知
所求概率为P（B1|A），由贝叶斯公式
例23 某大学生准备参加毕业论文答辩，答辩的效果与他的精神状态有关.据他估计，如果他的精神状态很好的话，则答辩通过的概率为0.8；若精神状态一般的话，则通过的概率为0.6；若精神状态很差的话，则通过的概率降为0.4.该生感到他的精神状态处于“很好”“一般”或“很差”都是等可能的.
（1）试求他通过毕业论文答辩的概率；（2）现在已知他通过了这次论文答辩，求他答辩时，精神状态处于“很好”的概率.解 设A表示事件“他通过论文答辩”，B1，B2和B3分别表示他的精神状态处于“很好”“一般”和“很差”这三个事件.显然，B1，B2，B3是样本空间Ω的一个划分，且
（1）由全概率公式知
（2）由贝叶斯公式得
