相关系数的定义和性质
由协方差的定义可知，Cov（X，Y）反映了X和Y相互间的关联程度，但它还受X与Y自身取值的影响.例如，当X与Y同时增大k倍时，kX与kY之间的相互联系和X与Y之间的相互联系应该是一样的，然而反映这种联系的协方差却增大了k2倍，即有
定义5 设（X，Y）是一个二维随机变量，且D（X）＞0，D（Y）＞0，则称
为X与Y的相关系数（或标准协方差）.
相关系数的性质：
性质1 设ρXY为随机变量X和Y的相关系数，则|ρXY|≤1.
证
由于方差非负，故2±2ρXY≥0，从而有|ρXY|≤1.
性质2 |ρXY|=1的充要条件是存在常数a≠0，b使
证 充分性：若Y=aX+b，则
即Y与X具有线性关系时|ρXY|=1.
必要性：当ρXY=1时，令Z=Y*-X*，则
由方差的性质4可知，存在常数C=E（Z）=0，则
即
令
则
这个性质告诉我们：
（1）相关系数ρXY的大小是X与Y之间线性关系的一种度量.
（2）如果ρXY=0，我们称X，Y不相关；不相关表示X，Y之间不存在线性关系，但不排除有其他函数关系.
（3）当|ρXY|=1时，则称X与Y完全线性相关.
（4）如果|ρXY|＜1，我们称X与Y存在“一定程度”的线性关系.|ρXY|越接近于1，则线性相关程度越强；|ρXY|越接近于0，则线性相关程度越弱.
性质3 如果随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关；反之则不然.
证 当X与Y相互独立时，由协方差的性质5及（4.15）可得ρXY=0，即X与Y不相关；反之则不然，见下面的反例.
例19 设X ～U（-1，1），令Y=X2，讨论X与Y的相关性及其相互独立性.
即X与Y不相关，但Y=X2，所以X与Y不独立.
求Cov（X，Y）和ρXY，并说明在二维正态分布的情况下，不相关与独立是等价的.
于是
当ρXY=0时，即ρ=0，这时X与Y不相关，则
所以X与Y独立；而由相关系数的性质3，如果随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关，即ρXY=ρ=0；所以，在二维正态分布的情况下，不相关与独立是等价的.
例21 设二维随机变量X与Y的联合概率密度函数为
求X，Y的相关系数ρXY.
解
则
