可线性化的一元非线性回归
有时两个变量之间的关系不是直线（或线性）的相关关系，而是某种曲线（或非线性）的相关关系.这类问题往往需要做曲线（或非线性）回归.对于一些非线性回归问题，与线性时一样，可以根据有关专业知识，从理论上推导出回归函数应是某种类型的函数，或者根据经验，定出函数类型，还可以根据散点图与已知类型的曲线相比较而确定函数（配曲线），然后经过适当的变量代换转化为线性问题，用线性回归的方法确定函数中的未知参数.
常用的配曲线的方法是根据散点图来确定的，即先对两个变量X和Y做n次试验观察得（xi，yi），1，2，…，n，画出散点图，根据散点图确定需要配曲线的类型.通常选择下面六类曲线之一.
图10-5
（2）幂函数曲线：y=axb，x＞0，其中a＞0，见图10-6.
图10-6
（3）指数曲线：y=aebx，其中a＞0，见图10-7.
图10-7
（4）倒指数曲线：y=aeb/x，其中a＞0，见图10-8.
图10-8
（5）对数曲线：y=a+blnx，x＞0，见图10-9.
（6）S形曲线：y=
，见图10-10.
然后，再由n对试验数据确定所选曲线的未知参数a与b.采用的方法是通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用非线性回归线性化的方法.下面具体介绍每类曲线线性化的具体方法.
图10-9
图10-10
（2）幂函数曲线：y=axb，x＞0，其中a＞0.
其他几类曲线线性化方法及参数求法与前两类相类似，仅仅是变量代换不同.因此，以下几类曲线仅给出变量代换.
3.指数曲线：y=aebx，其中a＞0.
令v=lny，A=lna，将指数曲线方程两边取对数后即转化成
4.倒指数曲线：y=aeb/x，其中a＞0.
5.对数曲线：y=a+blnx，x＞0.令u=lnx，则可将此曲线方程转化成
例5 已知某种树木平均胸径d与平均树高h之间的关系有如下数据：
试确定平均树高与平均胸径的相关关系.
解 画出（di，hi），i=1，2，…，11的点图（图10-11）.从散点图来看，选配对数曲线
令x=lnd，将di的所有数据取对数后得xi.用最小二乘法计算得
于是得h与d的回归关系为
图10-11
顺便提一下，若有多种回归曲线可供选择时，选择哪一种更好呢？显然，就已知样本而言，曲线的回归值与观察值的差的平方和（即剩余平方和）QE越小，回归方程的精度就越高，因此，选择QE值较小的曲线为宜.