线性模型假设的检验
上面的讨论是在假设Y与X存在线性回归的条件下求得回归直线方程的.其实，就最小二乘法而言，对任何一组数据（只要xi不全相同）都可用（10.4）及（10.5）给它们配一条直线来描述Y与X间的关系.但在处理实际问题时，μ（x）是否是线性函数，首先要根据有关专业知识做出判断或由实践进行检验.在统计中，人们还可以利用显著性检验来判断，就是说，求得的回归直线方程是否能用来指导实践，一般说来需要经过假设检验来确定.若线性模型的假设符合实际，即Y与X之间确有线性关系，则b不应为零，因为若b=0，Y就不依赖于X或不是线性地依赖X了.因此，首先提出待验假设：
下面讨论如何进行检验.与方差分析时一样，常用数据总的偏差平方和来衡量数据波动的大小，即
我们把总偏差平方和分解为两部分，一部分是线性关系引起的偏差平方和，另一部分是其余一切因素引起的偏差平方和.为此，令
它是在X=xi处的一个预测值，有
因为
故得
引入记号：
则
注意到
可以看出QR是回归直线上的点由于其横坐标的变化引起的偏差的平方和，即是线性关系引起的偏差平方和，称为回归平方和.而QE则是除去线性因素以外其他因素引起的偏差平方和，称为剩余平方和.
对于一组确定的观测值（xi，yi）（i=1，2，…，n），QT是一个定值.若QR较大，则QE就小，这表示X对Y的线性关系起作用较大，随机因素等起作用较小.反之，随机因素等其他因素起作用较大.
在（10.2）的假定条件下，如果假设H0为真，可以证明统计量
这样，就可用此作为检验统计量，对给定的显著性水平α，当
时，拒绝假设H0（即否定b=0），而认为Y与X之间确有线性关系，或者说回归效果是显著的，否则认为回归效果不显著.回归效果不显著的原因可能有如下几种：
（1）影响Y取值的除X外，还有其他不可忽视的因素；
（2）Y与X的关系不是线性关系，而存在着其他的关系；
（3）Y的取值与X无关，即Y与X不存在关系.
因此需要进一步分析原因，分别处理.
在具体计算时，除在建立回归方程时，已经计算出的Sxx，Sxy外，还需计算Syy（即QT），QR，QE，及F的值，计算公式为
例3 对例2中求得的回归直线方程的显著性进行检验（α=0.05）.
解 首先计算出Sxx，Sxy，Syy，这里n=9.
然后计算QT，QR及QE.
所以
查表得，F0.05（1，7）=5.59，由于F=2042≫5.59，故X对Y的回归方程效果非常显著，所建立的回归方程有实用价值.