§3.3 随机变量的相互独立性
在一般情况下，二维随机变量（X，Y）的性质不能完全由单个随机变量X与Y的性质来确定，因为（X，Y）的性质中考虑了X与Y之间的联系.如果X与Y不存在联系，情况又怎么样呢？为了研究这一问题，我们引入定义5.
定义5 设X与Y为两个随机变量，并设F（x，y），FX（x），FY（y）分别是二维随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数.若对所有的x，y有
则称随机变量X与Y是相互独立的.
以下我们将不加证明地给出（X，Y）是离散型随机变量和连续型随机变量时相互独立的充要条件，这些充要条件在判断随机变量相互独立时较为方便.
（1）离散型随机变量X与Y相互独立的充要条件是对于（X，Y）的所有可能取值（xi，yj），有
即
（2）连续型随机变量X与Y相互独立的充要条件是在f（x，y），fX（x），fY（y）的任意公共连续点（x，y）处有
其中f（x，y），fX（x），fY（y）分别为（X，Y）概率密度及边缘概率密度.
依照上述结论，在例7中，对于二维正态随机变量（X，Y），X与Y相互独立的充要条件是ρ=0.
例8 设二维随机变量（X，Y）的分布律为
若X与Y相互独立，求α，β之值.
解 由独立性条件有
例9 设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的概率密度为
求P（Y≤X）.
解 由已知条件得
X与Y相互独立，故（X，Y）的概率密度为
图3-3
以上所述关于二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度及独立性等概念，容易推广到n维随机变量中去.
设（X1，X2，…，Xn）为n维随机变量，x1，x2，…，xn为任意实数，则n元函数
F（x1，x2，…，xn）=P（X1≤x1，X2≤x2，…，Xn≤xn）称为（X1，X2，…，Xn）的联合分布函数.
设F（x1，x2，…，xn）为n维随机变量（X1，X2，…，Xn）的联合分布函数，若存在非负函数f（x1，x2，…，xn）使对任意实数x1，x2，…，xn有
则称（X1，X2，…，Xn）为连续型随机变量，f（x1，x2，…，xn）为n维随机变量的联合概率密度.
设F（x1，x2，…，xn）为n维随机变量（X1，X2，…，Xn）的联合分布函数，FX1（x1），FX2（x2），…，FXn（xn）依次为X1，X2，…，Xn的分布函数，若对任意实数x1，x2，…，xn有
则称X1，X2，…，Xn是相互独立.
对于n维离散型随机变量的分布律以及独立性，读者可自行给出.