附录 MATLAB中的概率统计
许多同学或学者在学习了概率论与数理统计后，常常有这样一个体会，一个实际问题虽然知道所用的统计方法，但由于实际数据繁多（如近年的全国大学生数学建模竞赛试题），或者计算公式复杂，求出最终结果比较困难，所以对这类问题往往停留在理论探讨上，缺乏具体计算的感性认识和解决实际问题的经验.
如果能结合某种科学计算软件，如MATLAB，MATHEMATICA，SPSS，SAS等科学计算软件，则可方便、迅速、准确地计算出结果，解决实际问题.
本附录只简单介绍MATLAB在概率统计中的若干命令和使用格式，而有关MATLAB的基本知识和程序设计的书籍非常多，在此不做介绍.
1 随机数的产生
1.1 常见分布的随机数函数
随机数产生函数表
续表
例如：正态分布的随机数据的产生.
命令 参数为μ，σ的正态分布的随机数据
例1.1
n1=normrnd（1：6，1./（1：6））
n1=2.1650 2.3134 3.0250 4.0879 4.8607 6.2827
n2=normrnd（0，1，［15］）
n2=0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462
n3=normrnd（［123；456］，0.1，2，3）%MU是一个均值矩阵；SIGMA是一个常数，则按MU行列生成一个全为0.1常数矩阵.
n3=0.9299 1.9361 2.9640
4.1246 5.0577 5.9864
1.2 通用函数求各分布的随机数据
name取值表
续表
命令 求指定分布的随机数例1.2 产生10（2行5列）个均值为0、标准差为1的正态分布随机数.
rn=random（′Normal′，0，1，2，5）
rn=-0.1567 0.2573 1.4151 0.5287 -0.9219
-1.6041 -1.0565 -0.8051 0.2193 -2.1707
例1.3 产生6（1行6列）参数分别为1，2，3，4，5，6的Poisson分布随机数.
rp=random（′Poisson′，1∶6，1，6）
rp=0 0 1 2 5 7
2 随机变量的概率密度计算
2.1 常用分布的概率密度函数值
命令 正态分布的概率值
例2.1 计算标准正态分布在X=-3∶1∶3的值.
Y=normpdf（-3∶1∶3，0，1）
Y=0.0044 0.0540 0.2420 0.3989 0.2420 0.0540 0.0044
例2.2 计算正态分布N（0，1），N（1，2），N（2，2）在X=0的值.
Y=normpdf（0，0∶2，1∶3）% 其中X=0为一个常数，将被扩充为全为0的常数向量.
Y=0.3989 0.1760 0.1065
常用概率密度函数列表如下表所示.
常用概率密度函数表
2.2 通用函数计算概率密度函数值
命令 通用函数计算概率密度函数值
函数 pdf
格式 Y=pdf（′name′，X，A）
Y=pdf（′name′，X，A，B）
Y=pdf（′name′，X，A，B，C）
返回在X处，参数为A，B，C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如name取值表所示.
例如，二项分布：设一次试验，事件A发生的概率为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率P—K为：P—K=P｛X=K｝=pdf（′bino′，K，n，p）.
例2.3 计算正态分布N（0，1）的随机变量X=-2∶2时的密度函数值.
解：p=pdf（′Normal′，-2∶2，0，1）
p=0.0540 0.2420 0.3989 0.2420 0.0540
例2.4 绘制卡方分布密度函数在自由度分别为2，6，10的图形.
x=0∶0.2∶30；
y1=chi2pdf（x，2）；plot（x，y1，′：′）
holdon
y2=chi2pdf（x，6）；plot（x，y2，′+′）
y3=chi2pdf（x，10）；plot（x，y3，′o′）
则图形如图1所示.
图1
3 随机变量的分布函数值
3.1 常用分布的分布函数值（随机变量的概率之和）
命令 指数分布的分布函数值
常用分布函数计算累积概率值函数列表如下表所示.
专用函数的累积概率值函数表
3.2 通用函数计算分布函数的值
命令 通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和（累积概率值）
函数 cdf
格式 p=cdf（′name′，x，A1）
p=cdf（′name′，x，A1，A2）
p=cdf（′name′，x，A1，A2，A3）
说明 返回以name为分布、随机变量X≤x的概率之和的分布函数值，name的取值见常见分布函数表.
4 随机变量的数字特征
4.1 样本均值和期望
命令 计算样本均值
函数 mean
格式 mean（X） %X为向量，返回X中各元素的平均值.
例4.1 随机抽取6个滚珠测得直径如下（直径：mm）：
试求样本平均值.
解：X=［14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32］；
mean（X） %计算样本均值
则结果如下：ans=15.0600
命令 由分布律计算数学期望
利用sum函数计算.
例4.2 设随机变量的分布律为
求E（X），E（X2-1）.
解：在Matlab编辑器中建立M文件如下：
运行后结果如下：
4.2 方差和标准差
命令 求样本方差
函数 var
例4.3 求下列样本的样本方差和样本标准差.
14.70 15.21 14.90 15.32 15.32
解：X=［14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32］；
4.3 常见分布的期望和方差
命令 均匀分布（连续）的期望和方差
函数 unifstat
格式 ［M，V］=unifstat（A，B） %A，B为标量时，返回值就是区间上均匀分布的期望M和方差V，A，B也可为维数相同的向量或矩阵，则M，V也为相应的向量或矩阵.
例4.4
常见分布的均值和方差
续表
4.4 协方差与相关系数
命令 协方差
函数 cov
例4.6
5 参数估计
5.1 常见分布的参数估计
命令 β分布的参数a和b的最大似然估计值和置信区间
函数 betafit
格式 P=betafit（X） %返回数据向量X的β分布参数a和b的最大似然估计量［P，C］=betafit（X，ALPHA）.%P返回数据向量X的β分布参数a和b的最大似然估计量；C返回置信度为（1-ALPHA）×100%参数a和b的置信区间，是一个2×2矩阵，其第1列为参数a的置信下界和上界，第2列为b的置信下界和上界；ALPHA为显著水平.
例5.1 随机产生100个β分布数据，相应的分布参数真值为4和3.则4和3的最大似然估计值和置信度为99%的置信区间为多少？
解：r=betarnd（4，3，100，1）；%产生100个β分布的随机数，a=4，b=3.
［p，c］=betafit（r，0.01）%求置信度为99%的置信区间和参数a，b的估计值.
p=3.9010 2.6193
c=2.5244 1.7488 5.2776 3.4898
即估计值3.9010的置信区间是［2.5244，5.2776］，估计值2.6193的置信区间是［1.7488，3.4898］.
命令 利用mle函数进行参数估计
函数 mle
格式 P=mle（′dist′，X） %返回用dist指定分布的参数最大似然估计值.
［P，C］=mle（′dist′，X） %缺省的置信度为95%.
［P，C］=mle（′dist′，X，alpha） %置信度由alpha确定.
［P，C］=mle（′dist′，X，alpha，pl） %仅用于二项分布，p1为试验次数.
说明 dist为分布函数名（表1.2），如beta（分布）、bino（二项分布）等，X为数据样本，alpha为显著水平，（1-alpha）×100%为置信度.
例5.2
rv=binornd（20，0.75） %产生二项分布的随机数.
rv=16
［p，pci］=mle（'binomial'，rv，0.05，20） % 求参数的估计值和置信区间，置信度为95%.
p=0.8000
pci=0.5634 0.9427
常用分布的参数估计函数：
参数估计函数表
续表
6 假设检验
6.1 σ2已知，单个正态总体的均值μ的假设检验（U检验法）
函数 ztest
格式 h=ztest（x，m，sigma）
h=ztest（x，m，sigma，alpha）
［h，sig，ci，zval］=ztest（x，m，sigma，alpha，tail）
说明 x为正态总体的样本；m为均值μ0；sigma为标准差；alpha显著性水平，缺省值为0.05；sig为观察值的概率，当sig为小概率时则对原假设提出质疑；ci为真正均值μ的（1-alpha）×100%置信区间；zval为统计量的值.
若h=0，表示在显著性水平alpha下，不能拒绝原假设；若h=1，表示在显著性水平alpha下，可以拒绝原假设.
原假设：H0：μ=μ0=m，
若tail=0，表示备择假设H1：μ≠μ0=m（缺省，双边检验）；
tail=1，表示备择假设H1：μ＞μ0=m（单边检验）；
tail=-1，表示备择假设H1：μ＜μ0=m（单边检验）.
例6.1 设某电子产品平均寿命5000小时为达到标准，现从一大批产品中抽出12件试验结果如下：
假设该产品的寿命X ～N（μ，1400），试问此批产品是否合格？
解：总体μ和σ已知，该问题是当σ2为已知时，在水平α=0.05下，根据样本值判断μ=5000还是μ≠5000.为此提出假设：
原假设：H0：μ=μ0=5000；
备择假设：H1：μ≠5000；
X=［5059，3897，3631，5050，7474，5077，4545，6279，3532，2773，7419，5116］；
［h，sig，ci，zval］=ztest（X，5000，sqrt（1400），0.05，0）
结果显示为
h=0
sig=0.2535
ci=1.0e+003*
4.96655.0088
zval=-1.1418
结果表明h=0，说明在水平下，可接受原假设，即认为此批产品是合格.
假设检验函数表
7 方差分析
7.1 单因素方差分析
单因素方差分析是比较两组或多组数据的均值，它返回原假设—— 均值相等的概率.
函数 anova1
格式 p=anova1（X）
p=anova1（X，group）
p=anova1（X，group，'displayopt'）
［p，table］=anova1（...）
［p，table，stats］=anova1（...）
说明 X为一个m×n的输入数据，其各列为彼此相互独立的样本观察值；p为各列均值相等的概率值，若p值接近于0，则原假设受到怀疑，说明至少有一列均值与其余列均值有明显不同.Group是与X对应的分类向量，用来区分向量X中来自不同样本的数据；displayopt=on/off表示显示与隐藏方差分析表图和盒图；table为方差分析表，stats为分析结果的结构；anova1函数产生两个图，分别标准的方差分析表图和盒图.
方差分析表中有6列，第1列（source）显示方差分析表中数据的来源；第2列（SS）显示用于每一列的平方和；第3列（df）显示与每一种来源有关的自由度；第4列（MS）显示是SS/df的比值；第5列（F）显示F统计量的数值，它是MS的比率；第6列显示从F累积分布中得到的概率，当F增加时，p值减少.
例7.1 某灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝，生产了4批灯泡.在每批灯泡中随机地抽取7个灯泡测其使用寿命（单位：小时），数据列于下表中：试问这四种灯丝生产的灯泡的使用寿命有无显著性的差异？
图2
7.2 双因素方差分析
函数 anova2
格式 p=anova2（X，reps）
p=anova2（X，reps，′displayopt′）
［p，table］=anova2（…）
［p，table，stats］=anova2（…）
说明 执行平衡的双因素试验的方差分析来比较X中两个或多个列（行）的均值，不同列的数据表示因素A的差异，不同行的数据表示另一因素B的差异.如果行列对有多于一个的观察点，则变量reps指出每一单元观察点的数目，每一单元包含reps行，如：
则reps=2.其余参数与单因素方差分析参数相似.
例7.2 某种火箭用4种燃料、3种推进器做射程试验，在试验中，对燃料和推进器的各种水平组合均进行了2次发射试验，射程数据在下表中给出：
试分析燃料，推进器以及它们的交互作用对射程有无显著性影响.
解：
结果为：
P=0.0035 0.0260 0.0001
显示方差分析图为图3.
图3
8 回归分析
函数 regress
格式 b=regress（y，X）
［b，bint，r，rint，stats］=regress（y，X）
［b，bint，r，rint，stats］=regress（y，X，alpha）
说明 b=regress（y，X）返回y关于X的最小二乘拟合系数（即回归系数），y是-n×1的列向量，X是-n×p的矩阵，b是-p×1的列向量；bint是b置信度为95%（缺省）的置信区间bint；r是回归残差向量，rint是r的置信度为95%（缺省）的致信区间；stats为回归模型的检验统计量，有3个值，第1个是回归方程的决定系数R2（是相关系数），第2个是统计量值，第3个是与统计量对应的概率值p；alpha为显著性水平.
例8.1 第十章习题第6题.
解：
以上简要介绍了MATLAB中的概率统计功能.用于数据处理和统计分析的软件，除MATLAB外，还有MATHEMATICA，SPSS，SAS等.MATHEMATICA纸演算式的数学软件，SPSS（StatisticalPackageforSocialScience）是国际流行的社会科学统计分析软件包，SAS（StatisticalAnalysisSystem）系统是当今国际上公认的功能强大、应用广泛的决策支持系统.
附表一 二项分布表
附表一（续）
附表二 标准正态分布表
注：表中末行系函数值Φ（3.0），Φ（3.1），…，Φ（3.9）
附表三 泊松分布表
附表四 t分布表
附表五 χ2分布表
+表示要将所列数乘以100
附表七 相关系数检验表
