二、χ2检验法
前面介绍了直观而简便的概率图纸法，它不需要很多计算就能对总体分布做出统计推断，并且还能对分布所含的参数做估计.但是这种方法因人而异，且精度不高，又不能控制犯错误的概率.下面介绍皮尔逊提出的χ2检验法，它能够像各种显著性检验一样控制犯第Ⅰ类错误的概率，可用来检验总体是否服从任何一个预先给定的分布.
设总体X的分布未知，根据样本观察值来检验总体分布的假设如下：H0：总体X的分布函数为F0（x）；
H1：总体X的分布函数不是F0（x）.
在用χ2检验法检验假设H0时，要求在假设H0下F（x）的形式及其参数都是已知的，但实际上参数值往往是未知的，这就需要我们先用极大似然法估计参数，然后再做检验.
χ2检验的基本思想如下：把随机试验结果的全体Ω分为k个互不相容的事件
于是在假设H0下，我们可以计算pi=P（Ai），i=1，2，…，k.显然，在n次试验中，事件Ai出现的频率ni/n与pi有差异.一般说来，若H0为真，则这种差异并不显著；若H0为假，这种差异就显著.基于这种想法，皮尔逊使用统计量
作为检验假设H0与实际符合程度的尺度，并证明了如下定理：
定理1 若n充分大（n≥50），则不论总体服从什么分布，在H0成立条件下，统计量χ2总是近似地服从自由度为k-r-1的χ2分布.其中，r是被估计参数的个数.
于是，若在假设H0下算统计量χ2有
则在水平α下拒绝H0；若上式不等号反向，就接受H0.
χ2检验法的具体步骤如下：
设总体的分布函数为F（x），取总体的一个样本X1，X2，…，Xn，现在根据这组样本来检验假设：
第一步，用极大似然法估计分布中的未知参数.设F0（x）=F0（x，θ1，…，θr），其中θ1，θ2，…，θr为未知参数，利用极大似然法分别求出未知参数θ1，θ2，…，θr的极大似然估计
^θ1，^θ2，…，^θr.
第二步，将实轴分为k个不相交的区间（ai，ai+1］，i=1，2，…，k，其中a1=-∞，ak+1=+∞.计算
χ2检验法是在n无限增大时推导出来的，所以在使用时必须注意n要足够大，一般n≥50，同时，要求npi不太小，一般npi≥5；否则，应适当地合并区间，使npi满足要求.
例14 在一实验中，每隔一定时间观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的α粒子数X，共观察了100次，得结果如下表所示：
其中ni是观察到有i个α粒子的次数.从理论上考虑知X应服从泊松分布
问上式是否符合实际（α=0.05）？即在水平0.05下检验假设
H0：总体X服从泊松分布：
解 因在H0中参数λ未具体给出，所以先估计λ.由极大似然估计得^λ=¯x=4.2.在H0假设下，即在X服从泊松分布的假设下，X所有可能的值为Ω=｛0，1，2，…｝，将Ω分成如下表所示的两两不相交的子集A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12.则P（X=i）有估计
例如：
例15 自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到里氏震级4级和4级以上的地震计162次，统计如下：
试检验相继两次地震间隔的天数X服从指数分布（α=0.05）.
解 按题意需检验假设：
H0：X的概率密度为
由上式可得概率pi=P（Ai）的估计：
例如：
将计算结果列表如下：
