二、方差的性质

二、方差的性质

性质1 若C是常数，则D（C）=0.

证 D（C）=E（C2）-［E（C）］2=C2-C2=0.

性质2 若a，b是常数，则D（aX+b）=a2D（X）.

证 D（aX+b）=E｛［（aX+b）-E（aX+b）］2｝

=E｛［a（X-E（X））］2｝=a2D（X）.

性质3 若X，Y是两个相互独立的随机变量，则

D（X±Y）=D（X）+D（Y）.

证 D（X±Y）=E［（X±Y）2］-［E（X±Y）］2

=E（X2±2XY+Y2）-［E（X）±E（Y）］2

=［E（X2）±2E（XY）+E（Y2）］-｛［E（X）］2±2E（X）E（Y）+［E（Y）］2｝

=｛E（X2）-［E（X）］2｝+｛E（Y2）-［E（Y）］2｝

=D（X）+D（Y）.

性质3可以推广到任意有限多个相互独立随机变量的情形.

性质4 若随机变量X的方差D（X）=0，则存在常数C［C=E（X）］，使

证明略（以后将用切比雪夫不等式证明）.