Z=max（X，Y）或min（X，Y）的分布

三、Z=max（X，Y）或min（X，Y）的分布

设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX（x）和FY（y），先求Z=max（X，Y）的分布函数.

首先注意到，Z=max（X，Y）不大于z等价于X和Y都不大于z，故有

又由于X和Y相互独立，得到Z的分布函数为

类似地，可得Z=min（X，Y）的分布函数为

以上结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况.读者可自行给出.

例16 设某系统L由两个子系统L1，L2组成，已知L1，L2的寿命分别为随机变量X，Y，它们都服从指数分布，概率密度函数分别为

其中λ1＞0，λ2＞0，λ1≠λ2，试就下面三种不同的组成方式，求出系统L的寿命Z的概率密度函数.（1）串联；（2）并联；（3）一个工作，一个备用（即当一个元件损坏时另一个立即启动）.

解 （1）串联，此时L的寿命Z=min（X，Y），

X，Y的分布函数分别为

Z的分布函数为

Z的概率密度函数为

（2）并联，此时L的寿命Z=max（X，Y），Z的分布函数为

Z的概率密度函数为

（3）备用情况，子系统L1损坏时，系统L2即开始工作，整个系统L的寿命Z为两个子系统寿命之和，即Z=X+Y.

当z＞0时，

当z≤0时，fZ（z）=0.所以Z的概率密度函数为

上面给出的求二维连续型随机变量的和与商的概率密度的方法，可以推广到求二维连续型随机变量的一般函数的分布.

一般地，设Z是二维连续型随机变量（X，Y）的函数：Z=g（X，Y），并且已知f（x，y）是（X，Y）的概率密度，则Z的分布函数为

其中积分区域D是由g（x，y）≤z所确定，即Z的分布函数就是（X，Y）落入区域D的概率.

例17 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

解 由题意X与Y相互独立，得

当z＜0时，显然FZ（z）=0.

当z≥0时，

故所求Z的概率密度为