连续型随机变量函数的分布
例19 设X为连续型随机变量，其概率密度为fX（x），试求X的线性函数Y=aX+b（a≠0）的概率密度.
解 设Y的分布函数为FY（y），则
下面分两种情况来讨论.
（1）a＞0，这时
于是得到Y=aX+b的概率密度为
（2）a＜0，这时
所以Y=aX+b的概率密度为
把两种情形的结果统一起来，可写成
例如，设X ～N（μ，σ2），即X的概率密度为
则Y=aX+b的概率密度为
一般有下面的定理.
定理2 设X是一个连续型随机变量，其概率密度为fX（x）.若y=g（x）为一严格单调函数，其反函数x=h（y）有连续导数，则Y=g（X）也是一个连续型随机变量，且概率密度为
其中α=min｛g（-∞），g（+∞）｝， β=max｛g（-∞），g（+∞）｝.
证 设y=g（x）为严格单调上升函数，其值域为（α，β），其中α=g（-∞），β=g（+∞），则它的反函数x=h（y）在（α，β）内有定义，且也是严格单调增函数.下面先求Y=g（X）的分布函数FY（y）：
当y≤α时，｛Y≤y｝=｛g（X）≤y｝为不可能事件，故
当y≥β时，｛Y≤y｝=｛g（X）≤y｝为必然事件，从而
当α ＜y＜β时，｛Y≤y｝=｛g（X）≤y｝=｛X≤h（y）｝，故
令x=h（t），则
于是得到Y的概率密度为
同理可证当y=g（x）为严格单调减函数时，有
因为当g（x）严格单调增时，h′（y）≥0；当g（x）严格单调减时，h′（x）≤0，所以（2.25）与（2.26）两式可统一写成（2.24）式.证毕.
当fX（x）在有限区间［a，b］之外取值为零时，只需假设在［a，b］上g（x）严格单调，反函数具有连续导数，则定理2的结论同样成立.此时
例20 设随机变量X在区间［0，1］上服从均匀分布，试求Y=eX的概率密度.解 X的概率密度为
即
例21 设X ～N（0，1），试求Y=X2的概率密度.
解 X的概率密度为
由于y=x2在（-∞，+∞）内不是单调函数，故不能用公式（2.24）来求Y=X2的概率密度.下面我们先求Y=X2的分布函数FY（y）.
当y≤0时，显然
当y＞0时有
最后，我们指出，连续型随机变量X的函数Y=g（X）不一定是连续型的.如果它是离散型的，那么我们可以根据分布律的定义来计算Y的分布.
例22 设加工零件的尺寸误差X～N（0，σ2），有时正误差和负误差所产生的后果不同.若用Y表示由误差引起的损失，为简单计，可设
这里a≠b，求Y的分布律.
解 易知Y的取值为a和b，且
这里的Y是一个离散型随机变量，它服从两点分布.