一、方差的概念
在上一节中，我们引入了随机变量的数学期望的概念，它反映了随机变量的平均值，是随机变量的重要数字特征.但是在某些场合下只知道平均值是不够的，我们还需要了解随机变量的其他特征.比如，在投资过程中，我们不但要考虑其未来的收益水平，还要考虑其未来收益的不确定性程度，前者可用数学期望来衡量，后者通常称为风险程度，可用收益的波动大小来衡量.下面看一个例子.
例10 某人有一笔资金，想投资房产或购买某种股票，其收益都与市场状态有关，若把未来市场划分为好、中、差三种状态，其发生的概率分别为0.3，0.6，0.1；通过市场调查，该投资者认为，投资房产和购买某种股票在不同的市场状态下其损益值为
请问：该投资者如何投资为好？
解 设投资房产或购买某种股票的收益分别为随机变量X与Y，则X，Y的数学期望分别为
显然，从平均收益看，投资房产和投资股票的收益没有差异，所以有必要考察它们的收益X，Y与平均收益的偏离程度.这时，自然会想到用E｛|X-E（X）|｝来度量X与其均值E（X）的偏离程度，其中对X-E（X）取绝对值是为了克服其差值的正、负项相抵消，对|X-E（X）|求数学期望是考虑到X对E（X）的平均偏离程度.但由于|X-E（X）|中的绝对值不便处理，故采用E｛［X-E（X）］2｝代替E｛|X-E（X）|｝.同理，用E｛［YE（Y）］2｝代替E｛|Y-E（Y）|｝.由（4.3）式，得
收益的波动愈大，风险也愈大.虽然购买股票与投资房产的平均收益相同，但购买股票比投资房产的风险要大，两者还是选择投资房产为好.由此看出仅根据平均收益来考虑投资是不全面的，还应考虑收益与平均收益的分散程度的大小.那么，如何用数值来反映出随机变量取值的“波动”大小，这是本节要讨论的问题.下面我们引入随机变量方差的概念.
定义3 设X是一个随机变量，若E｛［X-E（X）］2｝存在，则称E｛［X-E（X）］2｝为随机变量X的方差，记为D（X）或Var（X），即
由方差的定义可知方差是一个非负的数，方差与标准差的功能相似，当随机变量X的取值愈集中，则方差与标准差愈小；反之，则方差与标准差愈大.因此方差与标准差都是刻画随机变量X取值的分散程度的一个数字特征.而它们之间的差别主要在量纲上，由于σ（X）与X，E（X）有相同的量纲，所以在实际问题中常被采用.
由定义知，方差实质上就是随机变量X的函数g（X）=［X-E（X）］2的数学期望.
（1）若X为离散型随机变量，其分布律为P（X=xk）=pk，k=1，2，…，则X的方差为
（2）若X为连续型随机变量，其概率密度为f（x），则X的方差为
随机变量X的方差D（X）通常按下面的公式计算：
证 由数学期望的性质得
